Um besouro localizado em (3,9,4) começa a caminhar em uma linha reta em direção a (5,7,3). A que taxa varia seu deslocamento se ele for dado por D(x, y, z)=x e^x-y z ?

Passo 1

O enunciado dá a função de deslocamento
D(x,y,z)=x,e^,x-yz
e informa que o besouro parte do ponto (3,9,4) em direção a (5,7,3). Queremos a taxa de variação de D ao longo desse movimento, ou seja
dDdt|(3,9,4)
Para isso vamos usar derivada composta e o gradiente de D.

Passo 2

Parametrizamos a trajetória por
r(t)=(3,9,4)+t,(2,-2,-1),
pois o vetor direção é
v=(5-3,;7-9,;3-4)=(2,-2,-1)
Logo
d rdt= v=(2,-2,-1)

Passo 3

Calculamos o gradiente de D:
nabla D =l(partial Dpartial x,;partial Dpartial y,;partial Dpartial zr)
Como
partial Dpartial x =e^x-yz+x,e^x-yz =e^x-yz(1+x),
partial Dpartial y =x,e^x-yz(-z) =-xz,e^x-yz,
partial Dpartial z =x,e^x-yz(-y) =-xy,e^x-yz

Passo 4

Avaliamo o gradiente em (3,9,4). Primeiro
x-yz=3-9cdot4= -33,
então
nabla D(3,9,4) =l(4e^-33,,-12e^-33,,-27e^-33r)

Passo 5

A taxa de variação de D ao longo da trajetória é
dDdt =nabla Dcdotd rdt =(4e^-33,-12e^-33,-27e^-33)cdot(2,-2,-1)
=8e^-33+24e^-33+27e^-33 =59,e^-33

Resposta

59,e^-33

Exercícios relacionados