Calcule as derivadas direcionais na direção do vetor vecv e no ponto P, onde:
g(x, y, z)=x ln (y+z), v=2 i-j+k, P(2, e, e)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y,z)=xln(y+z)
e pede a derivada direcional de g no ponto P=(2,e,e) na direção do vetor
vec v = 2,vec i - vec j + vec k
O conteúdo a usar é que a derivada direcional de g na direção unitária u é
D ug(P)=nabla g(P)cdot u
Portanto precisamos (1) calcular o gradiente nabla g, (2) avaliar em P, (3) normalizar vec v.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais de g:
partial gpartial x=ln(y+z), partial gpartial y =xy+z, partial gpartial z =xy+z
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nabla g(x,y,z) =l(ln(y+z),,xy+z,,xy+zr)

Passo 3

Avaliaremos nabla g em P=(2,e,e). Note que y+z=e+e=2e. Assim
nabla g(2,e,e) =l(ln(2e),,22e,,22er) =l(ln2+1,,tfrac1e,,tfrac1er)

Passo 4

O vetor dado é vec v=(2,-1,1). Seu comprimento é
|vec v|=raiz2^2+(-1)^2+1^2=raiz6,
portanto a direção unitária é
u=1raiz6(2,-1,1)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
D ug(2,e,e) =nabla g(2,e,e)cdot u =l(ln2+1,,tfrac1e,,tfrac1er)cdot1raiz6(2,-1,1)
Fazendo o produto escalar dentro do colchete:
2(ln2+1)+(-1)cdot1e+1cdot1e =2ln2+2+l(-tfrac1e+tfrac1er) =2ln2+2
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D ug(2,e,e) =2ln2+2raiz6

Resposta

Dvec vg(2,e,e) =2ln2+2raiz6

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