Ache os valores de r os quais a ED tenha solução sendo y(t)=t^r.
t^2 y^prime prime+4 t y^prime+4 y=0

Passo 1

Estamos lidando com a EDO de Euler–Cauchy
t^2y'' + 4t y' + 4y = 0
e queremos soluções do tipo y(t)=t^r.

Passo 2

Assumimos y=t^r e calculamos as derivadas:
y' = r t^r-1,
y'' = r(r-1)t^r-2

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na EDO e fatoramos t^r:
t^2igl[r(r-1)t^r-2r] + 4tl[r t^r-1r] + 4 t^r = 0 
que simplifica para
t^rigl[r(r-1) + 4r + 4r] = 0 
e leva à equação característica

Passo 4

A equação característica é
r(r-1) + 4r + 4 = 0 ,Longrightarrow, r^2 + 3r + 4 = 0
Resolvendo-a:
r = -3 pm raiz9 - 162 = -3 pm iraiz72

Resposta

As raízes são r = -3 pm iraiz72.

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