Se
for de classe
numa bola centrada em
, aplique sucessivamente o Teorema 2.30 para concluir que, para todo
, vale
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função f de classe Cⁿ numa vizinhança de (x₀,y₀), todas as derivadas parciais mistas de ordem n trocando-se a ordem de diferenciação em x e y coincidem. Vamos usar o Teorema 2.30 (que garante igualdade das derivadas mistas de segunda ordem para funções C²) repetidamente e um argumento de indução.
Passo 2
Para n=2, o Teorema 2.30 aplica-se diretamente a f, garantindo que
Passo 3
Suponha agora, como hipótese de indução, que para toda função de classe Cᵏ com k<n valha a igualdade das derivadas mistas de ordem k em qualquer ponto.
Passo 4
Para mostrar o caso n, fixe 1≤j<n e considere a função auxiliar
Como f é Cⁿ, g é C² numa bola centrada em (x₀,y₀). Pelo Teorema 2.30 aplicado a g, temos
Reescrevendo essas derivadas em termos de f, obtemos exatamente