Se f for de classe C^n numa bola centrada em (x0, y0), aplique sucessivamente o Teorema 2.30 para concluir que, para todo 1 <= j, vale
partial^n fpartial x^j partial y^n-j(x0, y0)=partial^n fpartial y^n-j partial x^j(x0, y0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função f de classe Cⁿ numa vizinhança de (x₀,y₀), todas as derivadas parciais mistas de ordem n trocando-se a ordem de diferenciação em x e y coincidem. Vamos usar o Teorema 2.30 (que garante igualdade das derivadas mistas de segunda ordem para funções C²) repetidamente e um argumento de indução.

Passo 2

Para n=2, o Teorema 2.30 aplica-se diretamente a f, garantindo que
partial^2 fpartial xpartial y(x0,y0) = partial^2 fpartial ypartial x(x0,y0)

Passo 3

Suponha agora, como hipótese de indução, que para toda função de classe Cᵏ com k<n valha a igualdade das derivadas mistas de ordem k em qualquer ponto.

Passo 4

Para mostrar o caso n, fixe 1≤j<n e considere a função auxiliar
g(x,y)=partial^j-1partial x^j-1partial^n-j-1partial y^n-j-1f(x,y)
Como f é Cⁿ, g é C² numa bola centrada em (x₀,y₀). Pelo Teorema 2.30 aplicado a g, temos
partial^2gpartial xpartial y(x0,y0) = partial^2gpartial ypartial x(x0,y0)
Reescrevendo essas derivadas em termos de f, obtemos exatamente
partial^n fpartial x^jpartial y^n-j(x0,y0) = partial^n fpartial y^n-jpartial x^j(x0,y0)

Resposta

partial^n fpartial x^j partial y^n-j(x0,y0) = partial^n fpartial y^n-j partial x^j(x0,y0)

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