Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de números complexos! A gente precisa encontrar o argumento do número complexo $ z = 1 + i \sqrt{3} $, escrever esse número na forma polar e também representá-lo geometricamente. Para isso, vamos usar conceitos de geometria no plano complexo e algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um número complexo. Um número complexo tem a forma $ z = a + b i $, onde $ a $ é a parte real e $ b $ é a parte imaginária. No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = \sqrt{3} $.
Passo 3
Agora, para escrever o número na forma polar, precisamos encontrar dois componentes: o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $.
O módulo $ r $ é a distância do ponto $ z $ até a origem no plano complexo e é calculado pela fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 4
O argumento $ \theta $ é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo. Para encontrar $ \theta $, usamos a função tangente:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, com o módulo e o argumento encontrados, podemos escrever o número complexo na forma polar:
Passo 6
Para representar geometricamente, vamos plotar o ponto $ z $ no plano complexo. O eixo horizontal representa a parte real (1) e o eixo vertical representa a parte imaginária ($ \sqrt{3} $). O ponto fica a 1 unidade no eixo real e $ \sqrt{3} $ unidades no eixo imaginário, formando um triângulo retângulo com a origem.
Resposta
O argumento do número complexo $ z = 1 + i \sqrt{3} $ é $ \frac{\pi}{3} $ radianos. Na forma polar, ele é representado por $ z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) $. Geometricamente, $ z $ está localizado no plano complexo a 2 unidades da origem, formando um ângulo de $ \frac{\pi}{3} $ radianos com o eixo real positivo.