Ache : vartheta t e vartheta uvartheta s
u=ln (x^2+y^2), x=2 s+3 t, y=3 t-2 s

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais partial upartial t e partial upartial s, onde u=ln(x^2+y^2), com x=2s+3t e y=3t-2s. O conteúdo principal é derivada parcial e regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro observa que u é a composição u(v) com v=x^2+y^2. Pela regra da cadeia,
partial upartial t=1vpartial vpartial t, v=x^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a t e a expressão de v:
v=x^2+y^2=(2s+3t)^2+(3t-2s)^2=4s^2+12st+9t^2+9t^2-12st+4s^2=8s^2+18t^2

Passo 4

Em seguida,
partial vpartial t=2xpartial xpartial t+2ypartial ypartial t=2(2s+3t)cdot3+2(3t-2s)cdot3=6l((2s+3t)+(3t-2s)r)=36t

Passo 5

Logo
partial upartial t=18s^2+18t^2cdot36t=36t8s^2+18t^2=18t4s^2+9t^2

Passo 6

Agora repetimos para partial u/partial s. Pela regra da cadeia,
partial upartial s=1vpartial vpartial s

Passo 7

Calculando
partial vpartial s=2xpartial xpartial s+2ypartial ypartial s=2(2s+3t)cdot2+2(3t-2s)cdot(-2)=4(2s+3t)-4(3t-2s)=8s

Passo 8

Portanto
partial upartial s=8s8s^2+18t^2=8s8s^2+18t^2cdot11=8s8s^2+18t^2=8s2(4s^2+9t^2)=4s4s^2+9t^2

Resposta

partial upartial t=18t4s^2+9t^2, partial upartial s=4s4s^2+9t^2

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