Verifique se a função
dada por
se
e
, se
é diferenciável em
. Justifique.
Passo 1
Então, temos uma função
definida por
O objetivo é verificar se essa função é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade, derivadas parciais e critérios de diferenciabilidade para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. A continuidade é um pré-requisito para a diferenciabilidade. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se ele é igual a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares onde
e
. Assim, o limite se torna:
Como o limite é 0, que é igual a
, a função
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais em
são dadas por:
Então, as derivadas parciais em
são ambas iguais a 0.
Passo 5
Para verificar a diferenciabilidade, precisamos que a função
possa ser aproximada pela sua linearização no ponto, ou seja:
No nosso caso, isso se traduz em:
Ou seja, precisamos que:
Analisando o limite:
Esse limite depende de
e não necessariamente tende a 0 para todos os
. Portanto, a condição para diferenciabilidade não é satisfeita.
Resposta
A função
não é diferenciável em
.