Verifique se a função f: R^2 R dada por f(x, y)=x^2 yx^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0, se (x, y)=(0,0) é diferenciável em (0,0). Justifique.

Passo 1

Então, temos uma função f(x, y) = x^2 yx^2+y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) definida por
O objetivo é verificar se essa função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade, derivadas parciais e critérios de diferenciabilidade para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . A continuidade é um pré-requisito para a diferenciabilidade. Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se ele é igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
lim(x,y) to (0,0) x^2 yx^2+y^2
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares onde limr to 0 (r cos theta)^2 cdot (r sin theta)(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = limr to 0 r^3 cos^2 theta sin thetar^2 = limr to 0 r cos^2 theta sin theta = 0 e . Assim, o limite se torna:
Como o limite é 0, que é igual a , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0 em fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0 . As derivadas parciais em são dadas por:
Então, as derivadas parciais em são ambas iguais a 0.

Passo 5

Para verificar a diferenciabilidade, precisamos que a função f(x, y) = f(0,0) + fx(0,0) x + fy(0,0) y + o(raizx^2 + y^2) possa ser aproximada pela sua linearização no ponto, ou seja:
x^2 yx^2+y^2 = 0 + 0 cdot x + 0 cdot y + o(raizx^2 + y^2)
No nosso caso, isso se traduz em:
x^2 yx^2+y^2 = o(raizx^2 + y^2)
Ou seja, precisamos que:
lim(x,y) to (0,0) x^2 yx^2+y^2raizx^2 + y^2 = limr to 0 r^3 cos^2 theta sin thetar^2 cdot r = limr to 0 cos^2 theta sin theta
Analisando o limite:
Esse limite depende de e não necessariamente tende a 0 para todos os . Portanto, a condição para diferenciabilidade não é satisfeita.

Resposta

A função não é diferenciável em .

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