Ache : vartheta t e vartheta uvartheta s
u=3 x^2 y+2 x y-3 y z-2 z^2, x=e^3 r s, y=r^3 s^2, z=ln 4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais partial upartial t e partial upartial s de
u(x,y,z)=3x^2y+2xy-3yz-2z^2,
sujeito a
x=e^3ts, y=t^3s^2, z=ln4
O assunto é a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro a gente vê u como função de x,y,z e computa
partial upartial x=6xy+2y, partial upartial y=3x^2+2x-3z, partial upartial z=-3y-4z

Passo 3

Agora derivamos x,y,z em relação a t:
partial xpartial t=3s,e^3ts=3s,x, partial ypartial t=3t^2s^2, partial zpartial t=0

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
partial upartial t =partial upartial xpartial xpartial t+partial upartial ypartial ypartial t+partial upartial zpartial zpartial t =(6xy+2y)cdot3s x+(3x^2+2x-3z)cdot3t^2s^2

Passo 5

Para s é análogo. Primeiro:
partial xpartial s=3t,x, partial ypartial s=2t^3s, partial zpartial s=0
E então
partial upartial s=(6xy+2y)cdot3t x+(3x^2+2x-3z)cdot2t^3s

Resposta

As derivadas parciais ficam:
partial upartial t=6s,x,y,(3x+1)+3t^2s^2,(3x^2+2x-3z),
partial upartial s=6t,x,y,(3x+1)+2t^3s,(3x^2+2x-3z),
onde x=e^3ts, y=t^3s^2 e z=ln4.

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