Comprove que
satisfaz a equação de Laplace em
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é harmônica em
, ou seja, que satisfaz a equação de Laplace
. Vamos usar as derivadas padrões de
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas em relação a
. Como
é constante quando derivamos em
, temos:
Derivando de novo em
Passo 3
Agora calculamos as derivadas em relação a
. Aqui
é constante, então:
Derivando de novo em
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas:
Isso mostra exatamente que
Resposta
Como a soma das segundas derivadas dá zero, concluímos que
satisfaz a equação de Laplace em
.