Comprove que u(x, y)=(sinh x)(sin y) satisfaz a equação de Laplace em R^2 :
vartheta^2 uvartheta x^2+vartheta^2 uvartheta y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função u(x,y)=sinh x,sin y é harmônica em R^2, ou seja, que satisfaz a equação de Laplace partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=0. Vamos usar as derivadas padrões de sinh x, cosh x, sin y e cos y.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas em relação a x. Como sin y é constante quando derivamos em x, temos:
partial upartial x=ddx(sinh x)cdotsin y=cosh x,sin y
Derivando de novo em x:
partial^2upartial x^2=ddx(cosh x,sin y)=sinh x,sin y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas em relação a y. Aqui sinh x é constante, então:
partial upartial y=sinh xcdotddy(sin y)=sinh x,cos y
Derivando de novo em y:
partial^2upartial y^2=sinh xcdotddy(cos y)=-sinh x,sin y

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas:
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=(sinh x,sin y)+(-sinh x,sin y)=0
Isso mostra exatamente que u(x,y) satisfaz a equação de Laplace em R^2.

Resposta

Como a soma das segundas derivadas dá zero, concluímos que u(x,y)=sinh x,sin y satisfaz a equação de Laplace em R^2.

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