Resolva os seguintes exercícios, determinando o quociente Q(x) e o resto R(x) :
Divida P(x)=2 x^4-3 x^3+x^2-5 x+6 por D(x)=x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio P(x)=2x^4-3x^3+x^2-5x+6 pelo divisor D(x)=x^2-1, encontrando o quociente Q(x) e o resto R(x). Vamos usar o método da divisão de polinômios passo a passo.

Passo 2

Escrevemos os polinômios e iniciamos a divisão. Observe que o grau de P(x) é 4 e o de D(x) é 2, então teremos três passos de subtração:
P(x)=2x^4-3x^3+x^2-5x+6,
D(x)=x^2-1
O primeiro termo do quociente vem de dividir o termo líder: 2x^4,/,x^2=2x^2.

Passo 3

Multiplicamos o divisor por 2x^2 e subtraímos do polinômio atual:
2x^2,(x^2-1)=2x^4-2x^2,
Subtraindo:
(2x^4-3x^3+x^2-5x+6)-(2x^4-2x^2)=-3x^3+3x^2-5x+6

Passo 4

Agora dividimos o novo termo líder pelo termo líder de D(x):
-3x^3,/,x^2=-3x.
Multiplicamos e subtraímos:
-3x,(x^2-1)=-3x^3+3x,
(-3x^3+3x^2-5x+6)-(-3x^3+3x)=3x^2-8x+6

Passo 5

Seguimos: dividimos 3x^2 por x^2, obtendo +3. Multiplicamos e subtraímos:
3,(x^2-1)=3x^2-3,
(3x^2-8x+6)-(3x^2-3)=-8x+9

Passo 6

Aqui o grau do restante -8x+9 é menor que o grau de D(x), então paramos. Reunindo os termos que encontramos no quociente, temos:
Q(x)=2x^2-3x+3
e o resto
R(x)=-8x+9

Resposta

Quociente: Q(x)=2x^2-3x+3; Resto: R(x)=-8x+9.

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