1. Ache \vec{u} tal que \|\vec{u}\|=\sqrt{2}, a medida em graus do ângulo entre \vec{u} e ( 1,-1,0 ) seja 45 , e \vec{u} \perp(1,1,0).
  2. Calcule \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{D A} sabendo que o tetraedro A B C D é regular, de aresta unitária.

Passo 1

O enunciado contém duas perguntas separadas:
  1. Ache \vec{u} tal que \|\vec{u}\|=\sqrt{2}, o ângulo entre \vec{u} e (1,-1,0) mede 45^\circ e \vec{u}\perp(1,1,0).
  • Dados: \|\vec{u}\|=\sqrt{2}; vetor v=(1,-1,0); vetor w=(1,1,0).
  • Pedido: encontrar todas as componentes de \vec{u} que satisfazem as três condições simultaneamente.
  1. Calcule \overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{D A} sabendo que o tetraedro A B C D é regular, de aresta unitária.
  • Dados: tetraedro regular com aresta 1.
  • Pedido: o produto escalar entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{DA}.

Passo 2

Vamos resolver a questão 1) começando por traduzir as condições em equações para as componentes de \vec{u}. Seja
\vec{u}=(x,y,z).
A condição \vec{u}\perp(1,1,0) significa que o produto escalar entre \vec{u} e (1,1,0) é zero. Lembre que o produto escalar de \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,
e que \vec{a}\perp\vec{b} se e só se \vec{a}\cdot\vec{b}=0. Aqui isso dá:
(x,y,z)\cdot(1,1,0)=x+y+0\cdot z=0.
Portanto
x+y=0.

Passo 3

Da equação x+y=0 obtemos
y=-x.
Isso já reduz o número de incógnitas: \vec{u}=(x,-x,z).

Passo 4

Agora use a condição sobre o ângulo com v=(1,-1,0). A relação entre produto escalar, normas e ângulo é
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Aqui \theta=45^\circ, e \cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Calcule primeiro \|\vec{v}\|:
\|\,(1,-1,0)\,\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2}.
A norma dada de \vec{u} é \|\vec{u}\|=\sqrt{2}. Então o produto escalar desejado vale
\vec{u}\cdot\vec{v}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Calcule o valor numérico do produto escalar usando as normas e o cosseno:
\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\;2,\quad 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Portanto
\vec{u}\cdot\vec{v}=\sqrt{2}.

Passo 6

Expresse \vec{u}\cdot\vec{v} em termos de x,y,z. Temos v=(1,-1,0), logo
\vec{u}\cdot\vec{v}=x\cdot 1 + y\cdot(-1) + z\cdot 0 = x-y.
Usando y=-x (do Passo 3), obtemos
x-y = x-(-x)=2x.
Igualando ao valor do Passo 5:
2x=\sqrt{2}.

Passo 7

Da equação 2x=\sqrt{2} temos
x=\frac{\sqrt{2}}{2}.
E portanto
y=-x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Assim agora conhecemos x e y; falta determinar z usando a norma.

Passo 8

Use a condição \|\vec{u}\|=\sqrt{2}. A norma ao quadrado é
\|\vec{u}\|^2=x^2+y^2+z^2.
Substitua x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
x^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\qquad y^2=\frac{1}{2}.
Logo
\|\vec{u}\|^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+z^2=1+z^2.
Mas \|\vec{u}\|^2=(\sqrt{2})^2=2. Então
1+z^2=2\quad\Rightarrow\quad z^2=1.

Passo 9

Da equação z^2=1 obtemos duas possibilidades:
z=1\quad\text{ou}\quad z=-1.
Portanto as soluções para \vec{u} são
\vec{u}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right) \quad\text{ou}\quad \vec{u}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-1\right).
É sempre bom checar: ambas satisfazem x+y=0, têm norma \sqrt{2} e o produto escalar com (1,-1,0) é 2x=\sqrt{2}, produzindo \cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, ou seja \theta=45^\circ.

Passo 10

Agora resolvemos a questão 2). Para um tetraedro regular de aresta 1 é conveniente escolher coordenadas explícitas. Colocamos a face ABC no plano z=0 como um triângulo equilátero de lado 1. Escolha:
A=(0,0,0),\quad B=(1,0,0),\quad C=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right).
O centróide G do triângulo ABC tem coordenadas médias:
G=\left(\frac{0+1+\tfrac{1}{2}}{3},\;\frac{0+0+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{3},\;0\right) =\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},0\right).

Passo 11

No tetraedro regular a distância de um vértice ao centro da face oposta (altura do tetraedro) vale
h=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot a,
onde a é a aresta. Como a=1, temos
h=\sqrt{\frac{2}{3}}.
Portanto podemos colocar
D=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\sqrt{\frac{2}{3}}\right).
(Esse D está acima do plano ABC na vertical que passa pelo centróide do triângulo; com essa escolha todas as distâncias DA,DB,DC têm valor 1.)

Passo 12

Calcule os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{DA}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(1,0,0).
\overrightarrow{DA}=A-D=\left(0,0,0\right)-\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\sqrt{\frac{2}{3}}\right) =\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right).

Passo 13

Faça o produto escalar:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DA}=(1,0,0)\cdot\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right).
Usando a definição do produto escalar:
(1)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+ (0)\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)+ (0)\cdot\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) =-\frac{1}{2}.

Passo 14

Observe que o resultado não depende da coordenada z de D: \overrightarrow{AB} tem componentes apenas em x, então o produto escalar pega somente a componente x de \overrightarrow{DA}, que é -\tfrac{1}{2}. Isso explica por que o cálculo ficou simples.

Resposta

\vec{u}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right) ou \vec{u}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2},-1\right)\n -\dfrac{1}{2}

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