Pedido: encontrar todas as componentes de \vec{u} que satisfazem as três condições simultaneamente.
Calcule \overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{D A} sabendo que o tetraedro A B C D é regular, de aresta unitária.
Dados: tetraedro regular com aresta 1.
Pedido: o produto escalar entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{DA}.
Passo 2
Vamos resolver a questão 1) começando por traduzir as condições em equações para as componentes de \vec{u}. Seja
\vec{u}=(x,y,z).
A condição \vec{u}\perp(1,1,0) significa que o produto escalar entre \vec{u} e (1,1,0) é zero. Lembre que o produto escalar de \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,
e que \vec{a}\perp\vec{b} se e só se \vec{a}\cdot\vec{b}=0. Aqui isso dá:
(x,y,z)\cdot(1,1,0)=x+y+0\cdot z=0.
Portanto
x+y=0.
Passo 3
Da equação x+y=0 obtemos
y=-x.
Isso já reduz o número de incógnitas: \vec{u}=(x,-x,z).
Passo 4
Agora use a condição sobre o ângulo com v=(1,-1,0). A relação entre produto escalar, normas e ângulo é
É sempre bom checar: ambas satisfazem x+y=0, têm norma \sqrt{2} e o produto escalar com (1,-1,0) é 2x=\sqrt{2}, produzindo \cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, ou seja \theta=45^\circ.
Passo 10
Agora resolvemos a questão 2). Para um tetraedro regular de aresta 1 é conveniente escolher coordenadas explícitas. Colocamos a face ABC no plano z=0 como um triângulo equilátero de lado 1. Escolha:
Observe que o resultado não depende da coordenada z de D: \overrightarrow{AB} tem componentes apenas em x, então o produto escalar pega somente a componente x de \overrightarrow{DA}, que é -\tfrac{1}{2}. Isso explica por que o cálculo ficou simples.
Resposta
\vec{u}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right) ou \vec{u}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2},-1\right)\n-\dfrac{1}{2}