1. Sendo \vec{v}=-4 \overrightarrow{f_{1}}+\overrightarrow{f_{2}}-\overrightarrow{f_{3}} ache \vec{v} em função de \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}, nos casos do Exercício 1 .
  2. Sendo E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right), F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) bases, com
\begin{aligned} & \overrightarrow{f_{1}}=2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{3} \\\ & \overrightarrow{f_{2}}=\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3} \\\ & \overrightarrow{f_{3}}=7 \vec{e}_{3} \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se encontrar o vetor \vec{v} em função das bases \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}, isto é escrever \vec{v} como combinação linear dessas bases.
  • O enunciado dá a expressão de \vec{v} na base F: \vec{v}=-4\overrightarrow{f_{1}}+\overrightarrow{f_{2}}-\overrightarrow{f_{3}}
  • O enunciado também fornece as expressões dos vetores da base F em termos da base E: \begin{aligned} & \overrightarrow{f_{1}}=2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{3} \\\ & \overrightarrow{f_{2}}=\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3} \\\ & \overrightarrow{f_{3}}=7\vec{e}_{3} \end{aligned}
  • Resumindo: temos que substituir \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} por suas expressões em \vec{e}_{i} e simplificar para obter \vec{v} na base E.

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática e simples):
  • Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que permite escrever qualquer vetor como combinação linear deles. Se E=(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}) é uma base, então qualquer \vec{u} se escreve como \vec{u}=a_{1}\vec{e}_{1}+a_{2}\vec{e}_{2}+a_{3}\vec{e}_{3},onde a_{1},a_{2},a_{3} são os coeficientes (coordenadas) de \vec{u} na base E.
  • Para passar de uma expressão em termos de \overrightarrow{f_{i}} para termos de \vec{e}_{i}, basta substituir cada \overrightarrow{f_{i}} por sua expressão em \vec{e}_{i} e então agrupar termos semelhantes (coeficientes de \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}).
  • Isso é só álgebra: distribuição de escalares e soma de vetores, lembrando que vetores \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3} são independentes, então somamos coeficientes correspondentes.

Passo 3

Substituição direta: colocar as expressões de \overrightarrow{f_{i}} dentro de \vec{v}.
\vec{v}=-4\bigl(2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{3}\bigr)+\bigl(\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3}\bigr)-\bigl(7\vec{e}_{3}\bigr)

Passo 4

Distribuir os escalares (multiplicar cada parêntese pelo coeficiente que está fora):
  • Primeiro termo: -4\bigl(2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{3}\bigr) = -4\cdot 2\vec{e}_{1} + (-4)\cdot(-\vec{e}_{3}) = -8\vec{e}_{1}+4\vec{e}_{3}.Aqui usei a propriedade distributiva: a(b+c)=ab+ac e a multiplicação de escalares.
  • Segundo termo: \vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3}(já está distribuído).
  • Terceiro termo: -\bigl(7\vec{e}_{3}\bigr) = -7\vec{e}_{3}.

Passo 5

Somar todos os termos obtidos e agrupar coeficientes de \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}:
Juntando:
\vec{v}=(-8\vec{e}_{1}+4\vec{e}_{3})+(\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3})+(-7\vec{e}_{3}).
Agrupando por componentes:
  • Coeficiente de \vec{e}_{1}: -8.
  • Coeficiente de \vec{e}_{2}: 1 (saiu de \vec{e}_{2}).
  • Coeficiente de \vec{e}_{3}: 4+2-7.
Calcule 4+2-7:
4+2=6,\qquad 6-7=-1.
Portanto os coeficientes ficam -8 para \vec{e}_{1}, 1 para \vec{e}_{2} e -1 para \vec{e}_{3}.

Passo 6

Escrever o resultado final em forma de combinação linear e (opcional) em coordenadas na base E:
\vec{v}=-8\vec{e}_{1}+\vec{e}_{2}-\vec{e}_{3}.
As coordenadas de \vec{v} na base E são o vetor coluna
\begin{pmatrix}-8\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}_{\!E}.
Dica rápida para a prova: sempre substitua e distribua com calma; agrupe coeficientes de cada \vec{e}_{i} — é um passo mecânico, sem segredo. Força que você consegue!]

Resposta

\vec{v}=-8\vec{e}_{1}+\vec{e}_{2}-\vec{e}_{3}

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