Exemplo: Na base F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right), a notação \vec{v}=(3,-2,4)_{F}, significa
Passo 1
O enunciado dá a base F=\left(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\right) e a notação \vec{v}=(3,-2,4)_{F}. A pergunta implícita é: o que significa escrever \vec{v} nessa forma? As informações relevantes são: os escalares 3, -2 e 4 e os vetores \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} que formam a base F.
Passo 2
O que é uma base (resumido e amigável): uma lista de vetores \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} é uma base se qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear única desses vetores. “Combinação linear” significa multiplicar cada vetor por um número (um escalar) e somar os resultados. A parte importante aqui é “única”: para uma base fixa, os coeficientes que representam um vetor são bem definidos.
Passo 3
Interpretação direta da notação: escrever \vec{v}=(3,-2,4)_{F} significa que os números 3, -2 e 4 são os coeficientes da combinação linear de \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} que produzem \vec{v}. Em fórmula:
\vec{v}=3\vec{f}_{1}-2\vec{f}_{2}+4\vec{f}_{3}.
Isso é exatamente o significado — a tupla entre parênteses são as coordenadas de \vec{v} na base F.
Passo 4
Forma de coluna (notação alternativa muito usada): as coordenadas podem ser escritas como o vetor coluna
Aqui [\vec{v}]_{F} é a representação de \vec{v} em relação à base F; isso não é o mesmo que as componentes de \vec{v} em outra base (por exemplo, a base canônica) — depende da escolha de F.]
Passo 5
Forma matricial (útil pra prova): se montarmos a matriz cujas colunas são os vetores da base,
Ou seja, \vec{v}=(3,-2,4)_{F} corresponde ao vetor (7,1,2) no sistema de coordenadas canônico desse exemplo.
Passo 7
Como aplicar isso rápido na prova (dica amiga): ao ver \vec{v}=(a,b,c)_{F}, leia imediatamente "pega a vezes \vec{f}_{1}, mais b vezes \vec{f}_{2}, mais c vezes \vec{f}_{3}". Se te der \vec{v} em coordenadas padrão e pedir as coordenadas em F, monte a matriz P_{F} e resolva P_{F}x=\vec{v} para x=[\vec{v}]_{F} (usando eliminação ou inversa se existir). Respira fundo — é só escrita de combinação linear, nada de pânico.