Exemplo: Na base F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right), a notação \vec{v}=(3,-2,4)_{F}, significa

Passo 1

O enunciado dá a base F=\left(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\right) e a notação \vec{v}=(3,-2,4)_{F}. A pergunta implícita é: o que significa escrever \vec{v} nessa forma? As informações relevantes são: os escalares 3, -2 e 4 e os vetores \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} que formam a base F.

Passo 2

O que é uma base (resumido e amigável): uma lista de vetores \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} é uma base se qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear única desses vetores. “Combinação linear” significa multiplicar cada vetor por um número (um escalar) e somar os resultados. A parte importante aqui é “única”: para uma base fixa, os coeficientes que representam um vetor são bem definidos.

Passo 3

Interpretação direta da notação: escrever \vec{v}=(3,-2,4)_{F} significa que os números 3, -2 e 4 são os coeficientes da combinação linear de \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} que produzem \vec{v}. Em fórmula:
\vec{v}=3\vec{f}_{1}-2\vec{f}_{2}+4\vec{f}_{3}.
Isso é exatamente o significado — a tupla entre parênteses são as coordenadas de \vec{v} na base F.

Passo 4

Forma de coluna (notação alternativa muito usada): as coordenadas podem ser escritas como o vetor coluna
[\vec{v}]_{F}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Aqui [\vec{v}]_{F} é a representação de \vec{v} em relação à base F; isso não é o mesmo que as componentes de \vec{v} em outra base (por exemplo, a base canônica) — depende da escolha de F.]

Passo 5

Forma matricial (útil pra prova): se montarmos a matriz cujas colunas são os vetores da base,
P_{F}=\big[\vec{f}_{1}\\ \vec{f}_{2}\\ \vec{f}_{3}\big],
então a relação entre vetor geométrico e coordenadas é
\vec{v}=P_{F}\,[\vec{v}]_{F}.
Ou seja, multiplicando a matriz dos vetores da base pelas coordenadas na base, obtemos o vetor no espaço habitual.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (bem prático): suponha que a base seja a canônica \vec{f}_{1}=(1,0,0), \vec{f}_{2}=(0,1,0), \vec{f}_{3}=(0,0,1). Então
\vec{v}=3\vec{f}_{1}-2\vec{f}_{2}+4\vec{f}_{3}=(3, -2, 4)
na forma usual de coordenadas. Já se a base for não-canônica, por exemplo \vec{f}_{1}=(1,1,0), \vec{f}_{2}=(0,1,1), \vec{f}_{3}=(1,0,1), então
\begin{aligned} 3\vec{f}_{1}&=(3,3,0),\\\\ -2\vec{f}_{2}&=(0,-2,-2),\\\\ 4\vec{f}_{3}&=(4,0,4), \end{aligned}
e somando obtemos
\vec{v}=(3+0+4,\\\ 3-2+0,\\\ 0-2+4)=(7,1,2).
Ou seja, \vec{v}=(3,-2,4)_{F} corresponde ao vetor (7,1,2) no sistema de coordenadas canônico desse exemplo.

Passo 7

Como aplicar isso rápido na prova (dica amiga): ao ver \vec{v}=(a,b,c)_{F}, leia imediatamente "pega a vezes \vec{f}_{1}, mais b vezes \vec{f}_{2}, mais c vezes \vec{f}_{3}". Se te der \vec{v} em coordenadas padrão e pedir as coordenadas em F, monte a matriz P_{F} e resolva P_{F}x=\vec{v} para x=[\vec{v}]_{F} (usando eliminação ou inversa se existir). Respira fundo — é só escrita de combinação linear, nada de pânico.

Resposta

\vec{v}=3\vec{f}_{1}-2\vec{f}_{2}+4\vec{f}_{3}

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