Ache a velocidade em função do deslocamento x e a função potencial para uma partícula de massa m que inicia o movimento a partir do repouso em \mathrm{x}=0, sujeita à seguinte força. Onde F_{0} e c são constantes positivas. Discuta os resultados!
F=F_{0}+c x;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para uma partícula de massa m que parte do repouso em x=0 sob a força F(x)=F_{0}+c\,x:
– A velocidade v em função do deslocamento x.
– A função potencial U(x) associada a essa força.
Para isso vamos usar:
  1. Teorema do trabalho e energia cinética, segundo o qual
W_{0\to x}=\Delta K=\tfrac12\,m\,v(x)^2-0.
  1. Definição de potencial para força conservativa, F(x)=-\dfrac{dU}{dx}.

Passo 2

Calcular o trabalho realizado pela força ao levar a partícula de 0 até x:
W_{0\to x} =\int_{0}^{x}\!(F_{0}+c\,x')\,dx' =\Bigl[F_{0}x'+\tfrac{c\,x'^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{x} =F_{0}\,x+\frac{c\,x^{2}}{2}.
Esse trabalho vira energia cinética, então
\tfrac12\,m\,v(x)^2 =F_{0}\,x+\frac{c\,x^{2}}{2},
de onde
v(x) =\sqrt{\frac{2}{m}\Bigl(F_{0}\,x+\tfrac{c\,x^{2}}{2}\Bigr)} =\sqrt{\frac{2F_{0}\,x+c\,x^{2}}{m}}.

Passo 3

Encontrar U(x) via F(x)=-\dfrac{dU}{dx}. Isso dá
\frac{dU}{dx}=-\bigl(F_{0}+c\,x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad U(x)=-F_{0}\,x-\frac{c\,x^{2}}{2}+C.
Escolhendo o referencial U(0)=0 implica C=0, logo
U(x)=-F_{0}\,x-\frac{c\,x^{2}}{2}.

Passo 4

Discussão dos resultados:
  • Como F(x)>0 para x\ge0, a força está sempre “empurrando” no mesmo sentido, de modo que v(x) cresce sem limite à medida que x aumenta.
  • O termo linear F_{0} dá uma aceleração constante inicial, e o termo c\,x faz a aceleração aumentar com x.
  • A função potencial é uma parábola virada para baixo, sem mínimo para x\ge0, confirmando que não há ponto de equilíbrio estável nessa região.

Resposta

v(x)=\displaystyle\sqrt{\frac{2F_{0}\,x+c\,x^{2}}{m}}
U(x)=-F_{0}\,x-\tfrac{c\,x^{2}}{2}

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