Encontre a temperatura de uma cavidade (tratada como corpo negro) cuja densidade de energia emitida em 2000 Å é 3,82 vezes maior do que aquela emitida em 4000 Å.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura T de uma cavidade tratada como corpo negro, sabendo que a densidade de energia emitida em \lambda_1 = 2000\,\text{\AA} é 3,82 vezes maior do que em \lambda_2 = 4000\,\text{\AA}. Vamos usar a Lei de Planck para densidade espectral por unidade de comprimento de onda.

Passo 2

A densidade de energia por unidade de comprimento de onda numa cavidade em equilíbrio térmico é dada por
u(\lambda,T) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\,\frac{1}{\exp\bigl(\tfrac{hc}{\lambda k T}\bigr)-1}.
Queremos a razão
\frac{u(\lambda_1,T)}{u(\lambda_2,T)} = 3{,}82.

Passo 3

Escrevendo a razão usando a fórmula acima:
\frac{u(\lambda_1,T)}{u(\lambda_2,T)} = \frac{\lambda_2^5}{\lambda_1^5}\; \frac{\exp\bigl(\tfrac{hc}{\lambda_2 k T}\bigr)-1}{\exp\bigl(\tfrac{hc}{\lambda_1 k T}\bigr)-1} =3{,}82.
Como \lambda_2/\lambda_1=4000/2000=2, temos (\lambda_2/\lambda_1)^5=2^5=32. Defina
x_1 = \frac{hc}{\lambda_1 k T},\quad x_2 = \frac{hc}{\lambda_2 k T} = \frac{x_1}{2}.
A equação fica
32\,\frac{e^{x_2}-1}{e^{x_1}-1}=3{,}82.

Passo 4

Rearranjando,
e^{x_1}-1 = \frac{32}{3{,}82}\,(e^{x_2}-1) \quad\text{e como }e^{x_1}=e^{2x_2}\text{,}
obtemos
e^{2x_2}-1 = 8{,}377\,(e^{x_2}-1).
Seja y=e^{x_2}. Aí
y^2 -1 = 8{,}377\,(y-1) \quad\Longrightarrow\quad y^2 -8{,}377\,y +7{,}377 = 0.

Passo 5

Resolvendo a quadrática em y:
y = \frac{8{,}377 \pm \sqrt{8{,}377^2 -4\cdot7{,}377}}{2} \approx \frac{8{,}377 \pm 6{,}378}{2}.
As raízes são y_1\approx7{,}38 e y_2\approx0{,}999. Como y=e^{x_2}>1, escolhemos y\approx7{,}38. Então
x_2 = \ln(y)\approx \ln(7{,}38)\approx2{,}00.
Mas x_2 = \dfrac{hc}{\lambda_2 k T}=\dfrac{36000}{T} (em kelvin), pois
\frac{hc}{k\,\lambda_2} =\frac{6{,}626\times10^{-34}\cdot3{,}0\times10^8}{1{,}38\times10^{-23}\cdot4{,}0\times10^{-7}} \approx36000\text{ K}.
Logo
T = \frac{36000}{x_2}\approx \frac{36000}{2{,}00}=18000\text{ K}.

Resposta

A temperatura da cavidade é aproximadamente 1{,}8\times10^4 K.

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