Ache a velocidade em função do deslocamento x e a função potencial para uma partícula de massa m que inicia o movimento a partir do repouso em \mathrm{x}=0, sujeita à seguinte força. Onde F_{0} e c são constantes positivas. Discuta os resultados!
F= F_{0} \cos (c x).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para uma partícula de massa m que parte do repouso em x=0 sob a ação da força
F(x) = F_{0}\cos(c\,x),
sendo F_{0} e c constantes positivas.
Conteúdo: usaremos a forma diferencial da 2ª lei de Newton m\,a = F(x) em que a = v\,\frac{dv}{dx}, e também a definição de energia potencial U(x) = -\int F(x)\,dx.

Passo 2

Escrevemos a aceleração como
a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx}.
Então a 2ª lei fica
m\,v\frac{dv}{dx} = F_{0}\cos(c\,x).
Agora integramos em x desde x=0 (onde v=0) até um ponto genérico x (velocidade v(x)):
\int_{0}^{v} m\,v\,dv = \int_{0}^{x} F_{0}\cos(c\,x')\,dx'.

Passo 3

Calculando as integrais:
\int_{0}^{v} m\,v\,dv = \frac{1}{2}m\,v^{2},
\int_{0}^{x} F_{0}\cos(c\,x')\,dx' = \frac{F_{0}}{c}\sin(c\,x).
Igualando os resultados, obtemos
\frac{1}{2}m\,v^{2}(x) = \frac{F_{0}}{c}\,\sin(c\,x).
Assim a velocidade em função de x é
v(x) = \sqrt{\frac{2F_{0}}{m\,c}\,\sin(c\,x)}.

Passo 4

A energia potencial U(x) é definida, com convenção U(0)=0, por
U(x) = -\int_{0}^{x} F(x')\,dx' = -\int_{0}^{x} F_{0}\cos(c\,x')\,dx' = -\frac{F_{0}}{c}\,\sin(c\,x).

Passo 5

Discussão dos resultados:
  1. A expressão de v(x) só faz sentido real quando \sin(c\,x)\ge0, ou seja 0\le c\,x\le\pi. O ponto x=\pi/c é ponto de retorno, pois aí v=0 de novo.
  2. A partícula ganha velocidade até c\,x=\pi/2 (onde \sin é máximo), depois desacelera até parar em c\,x=\pi.
  3. O potencial U(x) = -(F_{0}/c)\sin(c\,x) tem mínimo em c\,x=\pi/2, ponto onde a velocidade atinge o máximo.
  4. Esse é um potencial oscilatório e a partícula descreve movimento de vai-e-vem entre x=0 e x=\pi/c se não houver dissipação.

Resposta

Velocidade:
v(x) = \sqrt{\frac{2F_{0}}{m\,c}\,\sin(c\,x)}.
Potencial (com U(0)=0):
U(x) = -\frac{F_{0}}{c}\,\sin(c\,x).

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