Ache a velocidade em função do deslocamento x e a função potencial para uma partícula de massa m que inicia o movimento a partir do repouso em
, sujeita à seguinte força. Onde
e
são constantes positivas. Discuta os resultados!
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para uma partícula de massa
que parte do repouso em
sob a ação da força
sendo
e
constantes positivas.
Conteúdo: usaremos a forma diferencial da 2ª lei de Newton em que
, e também a definição de energia potencial
.
Conteúdo: usaremos a forma diferencial da 2ª lei de Newton
Passo 2
Escrevemos a aceleração como
Então a 2ª lei fica
Agora integramos em
desde
(onde
) até um ponto genérico
(velocidade
):
Passo 3
Calculando as integrais:
Igualando os resultados, obtemos
Assim a velocidade em função de
é
Passo 4
A energia potencial
é definida, com convenção
, por
Passo 5
Discussão dos resultados:
- A expressão de
só faz sentido real quando , ou seja . O ponto é ponto de retorno, pois aí de novo. - A partícula ganha velocidade até
(onde é máximo), depois desacelera até parar em . - O potencial
tem mínimo em , ponto onde a velocidade atinge o máximo. - Esse é um potencial oscilatório e a partícula descreve movimento de vai-e-vem entre
e se não houver dissipação.
Resposta
Velocidade:
Potencial (com
):