Ache a velocidade e a posição em função do tempo para uma partícula de massa m que inicia o movimento a partir do repouso em \mathrm{t}=0 \mathrm{e} \mathrm{x}=0, sujeita à seguinte força:
F_{x}=F_{0} \operatorname{sen}(c t).
Onde F_{0} \mathrm{e} c são constantes positivas. Discuta os resultados!

Passo 1

O enunciado pede a velocidade v(t) e a posição x(t) de uma partícula de massa m sujeita à força \,F_x=F_{0}\sin(c t), com condições iniciais v(0)=0 e x(0)=0. O conteúdo principal é a aplicação da segunda lei de Newton e resolução de equações diferenciais por integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Pela segunda lei de Newton temos
m\frac{dv}{dt}=F_{0}\sin(c t).
Dividindo por m, obtemos a equação diferencial
\frac{dv}{dt}=\frac{F_{0}}{m}\sin(c t),
que podemos integrar diretamente em relação a t.

Passo 3

Integramos de 0 até t para achar v(t), usando \,v(0)=0:
v(t)=\int_{0}^{t}\frac{F_{0}}{m}\sin\bigl(c t'\bigr)\,dt' =\frac{F_{0}}{m}\Bigl[-\frac{1}{c}\cos(c t')\Bigr]_{0}^{t} =\frac{F_{0}}{m c}\bigl[1-\cos(c t)\bigr].
Verifica-se que v(0)=0 como desejado.

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter x(t), usando x(0)=0:
x(t)=\int_{0}^{t}v(t')\,dt' =\frac{F_{0}}{m c}\int_{0}^{t}\bigl[1-\cos(c t')\bigr]dt' =\frac{F_{0}}{m c}\Bigl[t-\frac{1}{c}\sin(c t)\Bigr].
Portanto,
x(t)=\frac{F_{0}}{m c}\,t-\frac{F_{0}}{m c^{2}}\sin(c t).

Passo 5

A força aplicada oscila com média zero, mas a velocidade \,v(t)=\tfrac{F_{0}}{m c}[1-\cos(c t)] tem um termo constante \tfrac{F_{0}}{m c}, levando a uma velocidade média não nula. A posição cresce linearmente em t (deriva) mais uma oscilação de amplitude \tfrac{F_{0}}{m c^{2}}. Para frequências muito altas c\to\infty, a deriva e as oscilações ficam pequenas; para frequências baixas ( c pequeno), a partícula acompanha mais de perto a variação da força.

Resposta

v(t)=\frac{F_{0}}{m c}\bigl[1-\cos(c t)\bigr],
x(t)=\frac{F_{0}}{m c}\,t-\frac{F_{0}}{m c^{2}}\sin(c t).

Exercícios relacionados