(2 pontos) Um balde cilíndrico, aberto na parte superior, possui diâmetro de 12,0 \mathrm{~cm} e altura igual a 27,0 \mathrm{~cm}. Um orifício circular com área da seção reta igual a 2,50 \mathrm{~cm}^{2} é feito no centro da base do balde. A água flui para dentro dele por um tubo acima dele com uma taxa de 3,50 \times 10^{4} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Até que altura a água subirá no balde?

Não esqueça de assinar sua prova e todas as suas folhas de solução.

Passo 1

O enunciado fala de um balde cilíndrico aberto, com um orifício na base, em que a água entra com vazão constante e sai pelo orifício até atingir um nível estacionário. O conteúdo aqui é dinâmica dos fluidos aplicando o teorema de Torricelli, que diz que a velocidade de saída satisfaz v = \sqrt{2\,g\,h}
e consequentemente a vazão de saída é
Q_{\text{out}} = A_o\,v = A_o\,\sqrt{2\,g\,h}.
Para o nível estacionário, igualamos Q_{\text{in}} e Q_{\text{out}} e resolvemos para a altura h.

Passo 2

Escrevemos a expressão da vazão de saída pelo orifício de área A_o:
Q_{\text{out}} = A_o\,\sqrt{2\,g\,h}.

Passo 3

Em regime estacionário, Q_{\text{in}}=Q_{\text{out}}. Logo,
Q_{\text{in}} = A_o\,\sqrt{2\,g\,h} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{2\,g\,h} = \frac{Q_{\text{in}}}{A_o} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{\bigl(Q_{\text{in}}/A_o\bigr)^2}{2\,g} = \frac{Q_{\text{in}}^2}{2\,g\,A_o^2}.

Passo 4

Convertendo as unidades e substituindo os valores:
A_o = 2{,}50\:\text{cm}^2 = 2{,}50\times10^{-4}\:\text{m}^2, \quad Q_{\text{in}} = 3{,}50\times10^{-4}\:\text{m}^3/\text{s}, \quad g = 9{,}80\:\text{m/s}^2.
Calculamos
Q_{\text{in}}^2 = \bigl(3{,}50\times10^{-4}\bigr)^2 = 1{,}225\times10^{-7}, \quad A_o^2 = \bigl(2{,}50\times10^{-4}\bigr)^2 = 6{,}25\times10^{-8},
2\,g\,A_o^2 = 2 \times 9{,}80 \times 6{,}25\times10^{-8} = 1{,}225\times10^{-6},
h = \frac{1{,}225\times10^{-7}}{1{,}225\times10^{-6}} = 0{,}10\:\text{m} = 10{,}0\:\text{cm}.

Passo 5

O valor de h obtido 10{,}0\:\text{cm} é menor que a altura do balde 27{,}0\:\text{cm}, portanto faz sentido físico.

Resposta

A água subirá até cerca de 10{,}0\:\text{cm} de altura.

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