Ache a velocidade e a posição em função do tempo para uma partícula de massa m que inicia o movimento a partir do repouso em \mathrm{t}=0 \mathrm{e} \mathrm{x}=0, sujeita à seguinte força:
F_{x}=F_{0} e^{c t}.
Onde F_{0} \mathrm{e} c são constantes positivas. Discuta os resultados!

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m sujeita a uma força
F_x = F_{0} e^{c t},
com condições iniciais v(0)=0 e x(0)=0. O conteúdo usado será a segunda lei de Newton F=ma e integração de equações diferenciais para achar v(t) e x(t).

Passo 2

Pela segunda lei de Newton temos
m \frac{dv}{dt} = F_{0} e^{c t}.
Isolando dv e dt,
\frac{dv}{dt} = \frac{F_{0}}{m} e^{c t} \quad\Longrightarrow\quad dv = \frac{F_{0}}{m} e^{c t}\,dt.
Integrando de 0 a t e usando v(0)=0,
v(t) = \int_{0}^{t} \frac{F_{0}}{m} e^{c \tau}\,d\tau = \frac{F_{0}}{m}\,\frac{1}{c}\bigl(e^{c t}-1\bigr).

Passo 3

Como v = \tfrac{dx}{dt}, escrevemos
\frac{dx}{dt} = \frac{F_{0}}{m\,c}\bigl(e^{c t}-1\bigr),
e integramos de 0 a t com x(0)=0:
x(t) = \int_{0}^{t} \frac{F_{0}}{m\,c}\bigl(e^{c \tau}-1\bigr)\,d\tau = \frac{F_{0}}{m\,c}\Bigl[\frac{1}{c}\bigl(e^{c t}-1\bigr)-t\Bigr].
Simplificando,
x(t) = \frac{F_{0}}{m\,c^{2}}\bigl(e^{c t}-1\bigr) - \frac{F_{0}}{m\,c}\,t.

Passo 4

O resultado mostra que a velocidade cresce exponencialmente menos um termo constante, iniciando com a(0)=F_{0}/m. Para t\to\infty, v(t)\sim(F_{0}/(m\,c))e^{c t} e x(t)\sim(F_{0}/(m\,c^{2}))e^{c t}, crescendo muito mais rápido do que no caso de força constante (onde v é linear e x é quadrática).

Resposta

v(t) = \frac{F_{0}}{m\,c}\bigl(e^{c t}-1\bigr),
x(t) = \frac{F_{0}}{m\,c^{2}}\bigl(e^{c t}-1\bigr) - \frac{F_{0}}{m\,c}\,t.

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