Questão 4 (3 pts): Um fio retilíneo e longo possui densidade linear de carga uniforme
. Esse fio está envolvido por uma casca condutora cilíndrica, também longa, coaxial ao fio, com raio interno
e raio externo
. A carga total da casca condutora é nula. Determine:
(a) O módulo do campo elétrico no ponto
, onde
é a distância ao eixo do fio.
(b) A densidade superficial de carga na superfície interna da casca condutora.
(c) A densidade superficial de carga na superfície externa da casca condutora.
(d) O módulo do campo elétrico no ponto
.
(e) Esboce o gráfico do módulo do campo elétrico
em função da distância radial
, no intervalo de
até
.
(f) Qual seria a densidade superficial de carga na superfície externa da casca condutora se ela tivesse uma densidade linear de carga total igual a
?
(a) O módulo do campo elétrico no ponto
(b) A densidade superficial de carga na superfície interna da casca condutora.
(c) A densidade superficial de carga na superfície externa da casca condutora.
(d) O módulo do campo elétrico no ponto
(e) Esboce o gráfico do módulo do campo elétrico
(f) Qual seria a densidade superficial de carga na superfície externa da casca condutora se ela tivesse uma densidade linear de carga total igual a
Passo 1
O enunciado descreve um fio retilíneo longo com densidade linear de carga
, coaxial a uma casca cilíndrica condutora de raio interno
e externo
, cuja carga total é nula. Para resolver usamos a Lei de Gauss e as propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático:
– O campo elétrico dentro do material condutor é nulo.
– As cargas livres se distribuem apenas nas superfícies interna e externa, de modo que .
– Para um cilindro infinito,
– O campo elétrico dentro do material condutor é nulo.
– As cargas livres se distribuem apenas nas superfícies interna e externa, de modo que
– Para um cilindro infinito,
onde
é a carga por comprimento
dentro de uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
.
Passo 2
(a) Para
a carga encerrada por comprimento unitário é
do fio mais zero da casca, logo
Passo 3
(b)–(c) Como o condutor está em equilíbrio e sua carga total por metro é zero, as cargas superficiais nos dois raios devem satisfazer
Logo
Passo 4
(d) Para
com
, estamos dentro do metal, onde necessariamente
Passo 5
(e) O gráfico de
versus
é dado por:
– Para :
, decaindo como
.
– Para :
.
– Para :
, novamente decaindo como
.
O esboço mostra uma curva hiperbólica de até
, depois zero entre
e
, em seguida outro ramo hiperbólico para
.
– Para
– Para
– Para
O esboço mostra uma curva hiperbólica de
Passo 6
(f) Se a casca tivesse densidade linear total
, o condutor induziria internamente
e sobraria na superfície externa
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Gráfico: para
e para
;
para
.
(f)
(b)
(c)
(d)
(e) Gráfico:
(f)