Questão 4 (3 pts): Um fio retilíneo e longo possui densidade linear de carga uniforme \lambda=3,5 \mathrm{nC} \mathrm{m}^{-1}. Esse fio está envolvido por uma casca condutora cilíndrica, também longa, coaxial ao fio, com raio interno a=3,0 \mathrm{~cm} e raio externo b=6,0 \mathrm{~cm}. A carga total da casca condutora é nula. Determine:
(a) O módulo do campo elétrico no ponto r=18,0 \mathrm{~cm}, onde r é a distância ao eixo do fio.
(b) A densidade superficial de carga na superfície interna da casca condutora.
(c) A densidade superficial de carga na superfície externa da casca condutora.
(d) O módulo do campo elétrico no ponto r=5,0 \mathrm{~cm}.
(e) Esboce o gráfico do módulo do campo elétrico E(r) em função da distância radial r, no intervalo de r=0 até r=20,0 \mathrm{~cm}.
(f) Qual seria a densidade superficial de carga na superfície externa da casca condutora se ela tivesse uma densidade linear de carga total igual a \lambda_{\text {casca }}=3,5 \mathrm{nC} \mathrm{m}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado descreve um fio retilíneo longo com densidade linear de carga \lambda=3,5\,\mathrm{nC/m}, coaxial a uma casca cilíndrica condutora de raio interno a=3{,}0\,\mathrm{cm} e externo b=6{,}0\,\mathrm{cm}, cuja carga total é nula. Para resolver usamos a Lei de Gauss e as propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático:
– O campo elétrico dentro do material condutor é nulo.
– As cargas livres se distribuem apenas nas superfícies interna e externa, de modo que Q_{\rm int}+Q_{\rm ext}=0.
– Para um cilindro infinito,
E(r)=\frac{Q_{\rm enc}}{2\pi\varepsilon_0\,r\,L}
onde Q_{\rm enc} é a carga por comprimento L dentro de uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r.

Passo 2

(a) Para r=18{,}0\,\mathrm{cm}>b a carga encerrada por comprimento unitário é \lambda do fio mais zero da casca, logo
E(0{,}18)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,(0{,}18)} \approx\frac{3{,}5\times10^{-9}}{2\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\,(0{,}18)} \approx350\;\mathrm{V/m}.

Passo 3

(b)–(c) Como o condutor está em equilíbrio e sua carga total por metro é zero, as cargas superficiais nos dois raios devem satisfazer
\lambda_{\rm int}+\lambda_{\rm ext}=0 \quad\text{e}\quad \lambda_{\rm int}=-\lambda_{\rm fio}=-3{,}5\times10^{-9}\,\mathrm{C/m}.
Logo
\sigma_{\rm int} =\frac{\lambda_{\rm int}}{2\pi a} =-\frac{3{,}5\times10^{-9}}{2\pi\,(0{,}03)} \approx-1,86\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^2},
\sigma_{\rm ext} =\frac{\lambda_{\rm ext}}{2\pi b} =\frac{+3{,}5\times10^{-9}}{2\pi\,(0{,}06)} \approx+9,29\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^2}.

Passo 4

(d) Para r=5{,}0\,\mathrm{cm} com a<r<b, estamos dentro do metal, onde necessariamente
E(r)=0.

Passo 5

(e) O gráfico de E(r) versus r é dado por:
– Para 0<r<a: E(r)=\lambda/(2\pi\varepsilon_0\,r), decaindo como 1/r.
– Para a<r<b: E(r)=0.
– Para r>b: E(r)=\lambda/(2\pi\varepsilon_0\,r), novamente decaindo como 1/r.
O esboço mostra uma curva hiperbólica de +\infty até r=a, depois zero entre a e b, em seguida outro ramo hiperbólico para r>b.

Passo 6

(f) Se a casca tivesse densidade linear total \lambda_{\rm casca}=3,5\,\mathrm{nC/m}, o condutor induziria internamente -\lambda_{\rm fio}=-3,5\times10^{-9}\,\mathrm{C/m} e sobraria na superfície externa
\lambda_{\rm ext}'=\lambda_{\rm casca}-\lambda_{\rm int} =3{,}5\times10^{-9}-(-3{,}5\times10^{-9}) =7{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C/m}.
Portanto
\sigma_{\rm ext}' =\frac{\lambda_{\rm ext}'}{2\pi b} =\frac{7{,}0\times10^{-9}}{2\pi\,(0{,}06)} \approx1,86\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^2}.

Resposta

(a) E(0{,}18)=350\;\mathrm{V/m}.
(b) \sigma_{\rm int}\approx-1,86\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^2}.
(c) \sigma_{\rm ext}\approx+9,29\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^2}.
(d) E(0{,}05)=0.
(e) Gráfico: E(r)=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r) para r<a e para r>b; E(r)=0 para a<r<b.
(f) \sigma_{\rm ext}'\approx1,86\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^2}.

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