Ache h(x, y)=g(f(x, y)) e verifique se h é contínua:
f(x, y)=x+\operatorname{tg}(y) ; g(t)=t^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a composição h(x,y)=g(f(x,y)) e verificar se h é contínua. As funções fornecidas são:
  • f(x,y)=x+\operatorname{tg}(y).
  • g(t)=t^{2}+1.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • A função \operatorname{tg}(y) (tangente) só está definida quando \cos(y)\neq0, isto é, quando y\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi para algum k\in\mathbb{Z}.
  • A composição h(x,y)=g(f(x,y)) só fará sentido nos pontos onde f(x,y) está definida.

Passo 2

Calcular explicitamente h(x,y) aplicando g sobre f. Substituindo t=f(x,y) em g(t)=t^{2}+1 obtém-se:
h(x,y)=g(f(x,y))=\bigl(f(x,y)\bigr)^{2}+1=\bigl(x+\operatorname{tg}(y)\bigr)^{2}+1.
Se quiser, pode expandir:
h(x,y)=x^{2}+2x\operatorname{tg}(y)+\operatorname{tg}^{2}(y)+1.

Passo 3

Determinar o domínio natural de h. Como h é g\circ f, o domínio de h é o mesmo conjunto de pontos onde f está bem definida. Logo
\operatorname{Dom}(h)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
Em palavras: todos os pares (x,y) com x\in\mathbb{R} e y diferente dos pontos onde a tangente explode.

Passo 4

Explicar por que h é contínua no seu domínio (a parte didática).
  • Primeiro, funções elementares contínuas:
    • A função identidade (x,y)\mapsto x é contínua (é projeção coordenada).
    • As funções \sin(y) e \cos(y) são contínuas em todo \mathbb{R}.
    • A tangente pode ser escrita como \operatorname{tg}(y)=\dfrac{\sin(y)}{\cos(y)}. Onde \cos(y)\neq0, a divisão de duas funções contínuas resulta numa função contínua. Portanto \operatorname{tg}(y) é contínua em todos os y tais que y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi.
  • Operações preservam continuidade:
    • Soma de funções contínuas é contínua. Assim f(x,y)=x+\operatorname{tg}(y) é contínua em todo ponto do domínio onde \operatorname{tg}(y) é definida.
    • A função g(t)=t^{2}+1 é um polinômio em t, e polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}.
  • Composição de contínuas:
    • Se uma função f é contínua num ponto p e g é contínua em f(p), então g\circ f é contínua em p.
    • Aqui, para qualquer (x_{0},y_{0})\in\operatorname{Dom}(h) temos que f é contínua em (x_{0},y_{0}) e g é contínua em f(x_{0},y_{0}). Logo h=g\circ f é contínua em (x_{0},y_{0}).
  • Conclusão técnica: h é contínua em todo ponto do seu domínio \operatorname{Dom}(h).
Observação intuitiva: pequenas variações de (x,y) (mantendo y afastado dos pontos onde \tan explode) produzem pequenas variações em \operatorname{tg}(y); somando com x e aplicando a função quadrado+1 (que é suave) o resultado muda de forma contínua.

Passo 5

Resumo final do que foi obtido e da verificação:
  • expressão fechada de h: \;h(x,y)=\bigl(x+\operatorname{tg}(y)\bigr)^{2}+1.
  • domínio e continuidade: h está definida e é contínua para todos (x,y) tais que
y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

h(x,y)=\bigl(x+\operatorname{tg}(y)\bigr)^{2}+1
h é contínua em \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.

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