Ache
e verifique se
é contínua:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a composição
e verificar se
é contínua. As funções fornecidas são:
-
. -
.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
- A função
(tangente) só está definida quando , isto é, quando para algum . - A composição
só fará sentido nos pontos onde está definida.
Passo 2
Calcular explicitamente
aplicando
sobre
. Substituindo
em
obtém-se:
Se quiser, pode expandir:
Passo 3
Determinar o domínio natural de
. Como
é
, o domínio de
é o mesmo conjunto de pontos onde
está bem definida. Logo
Em palavras: todos os pares
com
e
diferente dos pontos onde a tangente explode.
Passo 4
Explicar por que
é contínua no seu domínio (a parte didática).
- Primeiro, funções elementares contínuas:
- A função identidade
é contínua (é projeção coordenada). - As funções
e são contínuas em todo . - A tangente pode ser escrita como
. Onde , a divisão de duas funções contínuas resulta numa função contínua. Portanto é contínua em todos os tais que .
- A função identidade
- Operações preservam continuidade:
- Soma de funções contínuas é contínua. Assim
é contínua em todo ponto do domínio onde é definida. - A função
é um polinômio em , e polinômios são contínuos em todo .
- Soma de funções contínuas é contínua. Assim
- Composição de contínuas:
- Se uma função
é contínua num ponto e é contínua em , então é contínua em . - Aqui, para qualquer
temos que é contínua em e é contínua em . Logo é contínua em .
- Se uma função
- Conclusão técnica:
é contínua em todo ponto do seu domínio .
Observação intuitiva: pequenas variações de
(mantendo
afastado dos pontos onde
explode) produzem pequenas variações em
; somando com
e aplicando a função quadrado+1 (que é suave) o resultado muda de forma contínua.
Passo 5
Resumo final do que foi obtido e da verificação:
- expressão fechada de
: . - domínio e continuidade:
está definida e é contínua para todos tais que