converge ou diverge. As informações relevantes que temos:
O termo geral é \dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}=\dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n^{3/2}}.
A função seno satisfaz \lvert \operatorname{sen}(x)\rvert \le 1 para todo x.
A pergunta é apenas: a série converge ou diverge?
Passo 2
Vou explicar um conceito importante que vou usar: convergência absoluta.
Dizemos que a série \sum a_n converge absolutamente se a série de termos positivos \sum \lvert a_n\rvert converge.
Propriedade útil: se uma série converge absolutamente então ela converge (essa convergência é chamada convergência absoluta ⇒ convergência ordinária).
Explicando de forma prática: é geralmente mais fácil testar \sum \lvert a_n\rvert (que tem termos não negativos) usando testes de comparação; se \sum \lvert a_n\rvert converge, então a série original também converge.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, consideramos a série dos valores absolutos:
Então podemos comparar com a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3/2}}.
Passo 4
Agora lembro de um teste clássico: a série p (p-series)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=\tfrac{3}{2}=1,5>1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}
converge. Pela comparação direta (porque 0\le \dfrac{\lvert \operatorname{sen}(n)\rvert}{n^{3/2}}\le \dfrac{1}{n^{3/2}} e a série da direita converge), segue que
converge. Ou seja, a série original converge absolutamente.
Passo 5
Concluo usando a implicação já citada: convergência absoluta implica convergência. Portanto a série dada converge (na verdade, converge absolutamente).