Questão 2. Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
(1 ponto ) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n \sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}
converge ou diverge. As informações relevantes que temos:
  • O termo geral é \dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}=\dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n^{3/2}}.
  • A função seno satisfaz \lvert \operatorname{sen}(x)\rvert \le 1 para todo x.
    A pergunta é apenas: a série converge ou diverge?

Passo 2

Vou explicar um conceito importante que vou usar: convergência absoluta.
  • Dizemos que a série \sum a_n converge absolutamente se a série de termos positivos \sum \lvert a_n\rvert converge.
  • Propriedade útil: se uma série converge absolutamente então ela converge (essa convergência é chamada convergência absoluta ⇒ convergência ordinária).
    Explicando de forma prática: é geralmente mais fácil testar \sum \lvert a_n\rvert (que tem termos não negativos) usando testes de comparação; se \sum \lvert a_n\rvert converge, então a série original também converge.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, consideramos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert \frac{\operatorname{sen}(n)}{n^{3/2}} \right\rvert = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lvert \operatorname{sen}(n)\rvert}{n^{3/2}}.
Usamos a desigualdade \lvert \operatorname{sen}(n)\rvert \le 1. Assim, para todo n vale
0 \le \frac{\lvert \operatorname{sen}(n)\rvert}{n^{3/2}} \le \frac{1}{n^{3/2}}.
Então podemos comparar com a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3/2}}.

Passo 4

Agora lembro de um teste clássico: a série p (p-series)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=\tfrac{3}{2}=1,5>1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}
converge. Pela comparação direta (porque 0\le \dfrac{\lvert \operatorname{sen}(n)\rvert}{n^{3/2}}\le \dfrac{1}{n^{3/2}} e a série da direita converge), segue que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lvert \operatorname{sen}(n)\rvert}{n^{3/2}}
converge. Ou seja, a série original converge absolutamente.

Passo 5

Concluo usando a implicação já citada: convergência absoluta implica convergência. Portanto a série dada converge (na verdade, converge absolutamente).

Resposta

A série converge absolutamente, logo converge.

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