Descreva o conjunto dos pontos do sistema coordenado x y ou x y z em que f é contínua:
f(x, y, z)=\sqrt{x-2} \ln (y z)

Passo 1

O enunciado pede: descrever o conjunto dos pontos do sistema coordenado (no plano xy ou no espaço xyz) em que a função
f(x,y,z)=\sqrt{x-2}\,\ln(yz)
é contínua.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função tem um fator \sqrt{x-2}.
  • A função tem um fator \ln(yz).
  • A função é o produto desses dois fatores.

Passo 2

Entendendo onde cada fator está bem definido e é contínuo (uma mini-aula sobre funções elementares).
  • A raiz quadrada principal \sqrt{t} está definida e é contínua para t\ge 0. Portanto, \sqrt{x-2} exige
x-2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge 2.
  • O logaritmo natural \ln(u) está definido e é contínuo apenas para u>0. Portanto, \ln(yz) exige
yz > 0.
Observação intuitiva: yz>0 significa que y e z têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).

Passo 3

Reunindo as condições de definição:
  • Para que f(x,y,z) esteja definida é necessário e suficiente que x\ge 2 e yz>0.
    Logo o domínio natural (onde a função existe) é
D = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x\ge 2,\; yz>0\}.

Passo 4

Por que a função é contínua em todo ponto desse domínio? (mini-aula sobre continuidade e produtos)
  • Fatos usados:
    1. Se uma função elementar é definida num ponto (ou numa vizinhança) e é contínua ali, e outra também, então o produto é contínuo nesse ponto.
    2. \sqrt{x-2} é contínua em todos os pontos com x\ge 2.
    3. \ln(yz) é contínua em todos os pontos com yz>0 (é uma composição contínua do produto e do \ln).
  • Conclusão: em qualquer ponto (x_0,y_0,z_0) com x_0\ge 2 e y_0 z_0>0, ambos os fatores são finitos e contínuos, portanto o produto f é contínuo naquele ponto.

Passo 5

Comentário sobre a fronteira e pontos excluídos (detalhes importantes para prova).
  • Pontos com x<2: \sqrt{x-2} não está definido em \mathbb{R}, então f não existe aí e, portanto, não é contínua nesses pontos.
  • Pontos com yz\le 0: se yz=0 então \ln(0) é indefinido; se yz<0 então \ln(yz) não é real. Em ambos os casos f não está definida em \mathbb{R} e, portanto, não é contínua aí.
  • Observação sobre a linha x=2: mesmo que aí \sqrt{x-2}=0, isso não causa problema — desde que yz>0 a outra fator \ln(yz) é finito, e o produto de algo que tende a 0 por um número finito tende a 0. Portanto pontos com x=2 e yz>0 estão incluídos e são pontos de continuidade.

Passo 6

Exemplos ilustrativos (pra você checar rápido na prova):
  • Exemplo dentro do domínio: (x,y,z)=(2,1,1). Aqui x\ge2 e yz=1>0. Então f(2,1,1)=\sqrt{0}\,\ln(1)=0\cdot 0=0. A função é contínua nesse ponto.
  • Exemplo fora do domínio: (x,y,z)=(3,1,0). Aqui yz=0, \ln(0) indefinido, então f não existe nem é contínua aí.
  • Exemplo fora do domínio: (x,y,z)=(2,1,-1). Aqui yz=-1<0, \ln(-1) não é real, então f não é definida.

Resposta

No espaço \mathbb{R}^3: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x\ge 2,\; yz>0\}.
No plano \mathbb{R}^2 (interpretando f(x,y)=\sqrt{x-2}\ln y): \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 2,\; y>0\}.

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