Descreva o conjunto dos pontos do sistema coordenado
ou
em que
é contínua:
Passo 1
O enunciado pede: descrever o conjunto dos pontos do sistema coordenado (no plano
ou no espaço
) em que a função
é contínua.
Informações dadas pelo enunciado:
Informações dadas pelo enunciado:
- A função tem um fator
. - A função tem um fator
. - A função é o produto desses dois fatores.
Passo 2
Entendendo onde cada fator está bem definido e é contínuo (uma mini-aula sobre funções elementares).
- A raiz quadrada principal
está definida e é contínua para . Portanto, exige
- O logaritmo natural
está definido e é contínuo apenas para . Portanto, exige
Observação intuitiva:
significa que
e
têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
Passo 3
Reunindo as condições de definição:
- Para que
esteja definida é necessário e suficiente que e .
Logo o domínio natural (onde a função existe) é
Passo 4
Por que a função é contínua em todo ponto desse domínio? (mini-aula sobre continuidade e produtos)
- Fatos usados:
- Se uma função elementar é definida num ponto (ou numa vizinhança) e é contínua ali, e outra também, então o produto é contínuo nesse ponto.
-
é contínua em todos os pontos com . -
é contínua em todos os pontos com (é uma composição contínua do produto e do ).
- Conclusão: em qualquer ponto
com e , ambos os fatores são finitos e contínuos, portanto o produto é contínuo naquele ponto.
Passo 5
Comentário sobre a fronteira e pontos excluídos (detalhes importantes para prova).
- Pontos com
: não está definido em , então não existe aí e, portanto, não é contínua nesses pontos. - Pontos com
: se então é indefinido; se então não é real. Em ambos os casos não está definida em e, portanto, não é contínua aí. - Observação sobre a linha
: mesmo que aí , isso não causa problema — desde que a outra fator é finito, e o produto de algo que tende a por um número finito tende a . Portanto pontos com e estão incluídos e são pontos de continuidade.
Passo 6
Exemplos ilustrativos (pra você checar rápido na prova):
- Exemplo dentro do domínio:
. Aqui e . Então . A função é contínua nesse ponto. - Exemplo fora do domínio:
. Aqui , indefinido, então não existe nem é contínua aí. - Exemplo fora do domínio:
. Aqui , não é real, então não é definida.
Resposta
No espaço
:
.
No plano (interpretando
):
.
No plano