Ache o vetor normal e a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado
2 x^{2}+y^{2}-9=0 em (2,1)

Passo 1

O enunciado fornece a curva dada implicitamente por 2x^{2}+y^{2}-9=0 e o ponto indicado (2,1).
As perguntas são: encontrar (a) um vetor normal à curva no ponto (2,1) e (b) a equação da reta tangente à curva nesse mesmo ponto.
Verificação rápida que o ponto pertence à curva (peguei este dado do enunciado):
2\cdot2^{2}+1^{2}-9=2\cdot4+1-9=8+1-9=0,
ou seja, (2,1) está realmente sobre a curva.

Passo 2

Ideia-chave (aula curta e intuitiva). Quando uma curva está dada por uma equação do tipo F(x,y)=0, o vetor \nabla F(x,y) — chamado gradiente de F — é perpendicular (normal) à curva em cada ponto. O gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de F:
\nabla F(x,y)=\left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y}\right).
Justificativa curta: se (x(t),y(t)) descreve uma parametrização da curva (sendo F(x(t),y(t))\equiv0), diferenciando em t pela regra da cadeia obtém-se
\dfrac{\partial F}{\partial x}\,x'(t)+\dfrac{\partial F}{\partial y}\,y'(t)=0,
ou seja, \nabla F\cdot (x',y')=0; o vetor velocidade (x',y') é tangente e é ortogonal ao gradiente.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: defina
F(x,y)=2x^{2}+y^{2}-9.
Calcule as derivadas parciais:
\dfrac{\partial F}{\partial x}=4x,\qquad \dfrac{\partial F}{\partial y}=2y.
Logo o gradiente é
\nabla F(x,y)=(4x,\,2y).

Passo 4

Avalie o gradiente no ponto (2,1) (peguei o ponto do enunciado):
\nabla F(2,1)=(4\cdot2,\,2\cdot1)=(8,\,2).
Esse vetor é normal à curva no ponto pedido. Observação prática: qualquer múltiplo escalar de (8,2) também é normal; por exemplo (4,1) é a versão simplificada dividindo por 2. Se quiser o versor normal unitário, divide-se por sua norma \sqrt{8^{2}+2^{2}}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}, obtendo \dfrac{1}{2\sqrt{17}}(8,2)=\dfrac{1}{\sqrt{17}}(4,1).

Passo 5

Agora a reta tangente. Duas maneiras equivalentes: (i) usar que a derivada y'=\dfrac{dy}{dx} para curva implícita satisfaz -\dfrac{F_x}{F_y}; (ii) usar que o vetor tangente é perpendicular ao vetor normal. Vou fazer (i) com explicação:
Diferenciando \,F(x,y)=0 em relação a x pela regra da cadeia:
\dfrac{\partial F}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial y}\,\dfrac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx} vem
\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y}=-\dfrac{4x}{2y}=-\dfrac{2x}{y}.

Passo 6

Calcule a inclinação no ponto (2,1) (peguei o ponto do enunciado):
\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(2,1)}=-\dfrac{2\cdot2}{1}=-4.
Portanto a reta tangente tem coeficiente angular m=-4.
Usando a forma ponto-inclinação da reta passando por (2,1):
y-1=-4(x-2).
Desenvolvendo:
y-1=-4x+8\quad\Rightarrow\quad y=-4x+9.
Também se pode escrever a equação vetorial paramétrica da reta tangente (útil na prova):
\vec{r}(t)=(2,1)+t(1,-4),\quad t\in\mathbb{R},
onde (1,-4) é um vetor diretor (peguei-o como (1,m) com m=-4) e é ortogonal ao normal (8,2), pois (8,2)\cdot(1,-4)=8-8=0.

Resposta

\vec{n}=(8,2) (vetor normal; equivalente: (4,1) ou unitário \dfrac{1}{\sqrt{17}}(4,1))
Equação da reta tangente: y=-4x+9

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