Ache o vetor normal e a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado 2 x^{2}+y^{2}-9=0 em (2,1)
Passo 1
O enunciado fornece a curva dada implicitamente por 2x^{2}+y^{2}-9=0 e o ponto indicado (2,1).
As perguntas são: encontrar (a) um vetor normal à curva no ponto (2,1) e (b) a equação da reta tangente à curva nesse mesmo ponto.
Verificação rápida que o ponto pertence à curva (peguei este dado do enunciado):
2\cdot2^{2}+1^{2}-9=2\cdot4+1-9=8+1-9=0,
ou seja, (2,1) está realmente sobre a curva.
Passo 2
Ideia-chave (aula curta e intuitiva). Quando uma curva está dada por uma equação do tipo F(x,y)=0, o vetor \nabla F(x,y) — chamado gradiente de F — é perpendicular (normal) à curva em cada ponto. O gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de F:
Avalie o gradiente no ponto (2,1) (peguei o ponto do enunciado):
\nabla F(2,1)=(4\cdot2,\,2\cdot1)=(8,\,2).
Esse vetor é normal à curva no ponto pedido. Observação prática: qualquer múltiplo escalar de (8,2) também é normal; por exemplo (4,1) é a versão simplificada dividindo por 2. Se quiser o versor normal unitário, divide-se por sua norma \sqrt{8^{2}+2^{2}}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}, obtendo \dfrac{1}{2\sqrt{17}}(8,2)=\dfrac{1}{\sqrt{17}}(4,1).
Passo 5
Agora a reta tangente. Duas maneiras equivalentes: (i) usar que a derivada y'=\dfrac{dy}{dx} para curva implícita satisfaz -\dfrac{F_x}{F_y}; (ii) usar que o vetor tangente é perpendicular ao vetor normal. Vou fazer (i) com explicação:
Diferenciando \,F(x,y)=0 em relação a x pela regra da cadeia: