Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente
de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto
(c) e a Derivada direcional
em (
) na direção do vetor unitário
, com o ângulo do vetor
o eixo
é
Passo 1
O enunciado dá a função escalar
, o ponto
e pede:
(a) o gradiente (vetor de derivadas parciais);
(b) o valor do gradiente em , isto é
;
(c) a derivada direcional em
na direção do vetor unitário
cujo ângulo com o eixo
é
.
(a) o gradiente
(b) o valor do gradiente em
(c) a derivada direcional
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo.
- Definição: o gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a e a :
- Derivada parcial
significa derivar tratando como constante; análogo para tratando como constante. Vou calcular as duas parciais passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
.
A função é produto de um fator que depende só de ,
, e de
. Ao derivar em relação a
o fator
é constante, e a derivada de
é
. Portanto:
A função é produto de um fator que depende só de
Expliquei cada passo: mantenho
fixo, extraio o fator constante e aplico a regra básica
.
Passo 4
Cálculo de
.
Agora é tratado como constante;
. Aqui
é constante ao derivar em
. A derivada de
usa a regra da cadeia: se
então
. Aqui
e
. Assim:
Agora
Detalhei a aplicação da regra da cadeia e o tratamento de
como constante.
Passo 5
Escrever o gradiente geral. Com as parciais obtidas:
Isto responde a parte (a): o gradiente é o vetor acima.
Passo 6
Avaliar o gradiente em
. Primeiro calculo os valores trigonométricos e exponenciais necessários:
,
,
quando
. Substituindo nas componentes:
Logo
Isso responde a parte (b).
Passo 7
Derivada direcional: definição e vetor unitário.
- Definição: a derivada direcional de
em na direção do vetor unitário vale o produto escalar do gradiente pelo vetor:
- Se a direção vem de um ângulo
medido a partir do eixo , o vetor unitário correspondente é
Aqui
, então
Expliquei por que usamos
: é a representação habitual de um vetor unitário em função do ângulo.
Passo 8
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar. Com
e
:
Interpretação rápida (curta e encorajadora): isso significa que, no ponto dado, movendo-se uma unidade infinitesimal na direção de
, a função
aumenta à taxa
por unidade de comprimento nessa direção.