Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente nabla z de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto nabla z\left(x_{0}, y_{0}\right) (c) e a Derivada direcional D_{u} z em ( x_{0}, y_{0} ) na direção do vetor unitário vec{u}
z=e^{-y^{2}} \cos (x),\left(x_{0}, y_{0}\right)=(\pi, 1), com o ângulo do vetor vec{u} \operatorname{com} o eixo x é theta=\pi / 6

Passo 1

O enunciado dá a função escalar
z = e^{-y^{2}} \cos(x), o ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=(\pi,1) e pede:
(a) o gradiente \nabla z (vetor de derivadas parciais);
(b) o valor do gradiente em \left(\pi,1\right), isto é \nabla z(\pi,1);
(c) a derivada direcional D_{\vec{u}} z em \left(\pi,1\right) na direção do vetor unitário \vec{u} cujo ângulo com o eixo x é \theta=\pi/6.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo.
  • Definição: o gradiente de uma função z(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e a y:
\nabla z(x,y)=\left(\frac{\partial z}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)\right).
  • Derivada parcial \frac{\partial z}{\partial x} significa derivar z tratando y como constante; análogo para \frac{\partial z}{\partial y} tratando x como constante. Vou calcular as duas parciais passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \frac{\partial z}{\partial x}.
A função é produto de um fator que depende só de y, e^{-y^{2}}, e de \cos(x). Ao derivar em relação a x o fator e^{-y^{2}} é constante, e a derivada de \cos(x) é -\sin(x). Portanto:
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = e^{-y^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = e^{-y^{2}}\cdot(-\sin x) = -e^{-y^{2}}\sin x.
Expliquei cada passo: mantenho y fixo, extraio o fator constante e aplico a regra básica \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.

Passo 4

Cálculo de \frac{\partial z}{\partial y}.
Agora x é tratado como constante; z(x,y)=\big(e^{-y^{2}}\big)\big(\cos x\big). Aqui \cos x é constante ao derivar em y. A derivada de e^{-y^{2}} usa a regra da cadeia: se h(y)=e^{g(y)} então h'(y)=g'(y)e^{g(y)}. Aqui g(y)=-y^{2} e g'(y)=-2y. Assim:
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \cos x \cdot \frac{d}{dy}\big(e^{-y^{2}}\big) = \cos x \cdot \big((-2y)e^{-y^{2}}\big) = -2y\,e^{-y^{2}}\cos x.
Detalhei a aplicação da regra da cadeia e o tratamento de \cos x como constante.

Passo 5

Escrever o gradiente geral. Com as parciais obtidas:
\nabla z(x,y) = \left(-e^{-y^{2}}\sin x,\; -2y\,e^{-y^{2}}\cos x\right).
Isto responde a parte (a): o gradiente é o vetor acima.

Passo 6

Avaliar o gradiente em \left(x_{0},y_{0}\right)=(\pi,1). Primeiro calculo os valores trigonométricos e exponenciais necessários:
\sin(\pi)=0, \cos(\pi)=-1, e^{-y^{2}}=e^{-1} quando y=1. Substituindo nas componentes:
\frac{\partial z}{\partial x}(\pi,1) = -e^{-1}\sin(\pi) = -e^{-1}\cdot 0 = 0,
\frac{\partial z}{\partial y}(\pi,1) = -2\cdot 1\cdot e^{-1}\cos(\pi) = -2e^{-1}\cdot(-1)=2e^{-1}.
Logo
\nabla z(\pi,1)=\big(0,\;2e^{-1}\big).
Isso responde a parte (b).

Passo 7

Derivada direcional: definição e vetor unitário.
  • Definição: a derivada direcional de z em (x_{0},y_{0}) na direção do vetor unitário \vec{u} vale o produto escalar do gradiente pelo vetor:
D_{\vec{u}} z(x_{0},y_{0}) = \nabla z(x_{0},y_{0})\cdot \vec{u}.
  • Se a direção vem de um ângulo \theta medido a partir do eixo x, o vetor unitário correspondente é
\vec{u}=(\cos\theta,\;\sin\theta).
Aqui \theta=\pi/6, então
\vec{u}=\Big(\cos\frac{\pi}{6},\;\sin\frac{\pi}{6}\Big) =\Big(\frac{\sqrt{3}}{2},\;\frac{1}{2}\Big).
Expliquei por que usamos (\cos\theta,\sin\theta): é a representação habitual de um vetor unitário em função do ângulo.

Passo 8

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar. Com \nabla z(\pi,1)=\big(0,2e^{-1}\big) e \vec{u}=(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2}):
D_{\vec{u}} z(\pi,1) = \big(0,\,2e^{-1}\big)\cdot\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2}\big) = 0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} + 2e^{-1}\cdot\tfrac{1}{2} = e^{-1}.
Interpretação rápida (curta e encorajadora): isso significa que, no ponto dado, movendo-se uma unidade infinitesimal na direção de \theta=\pi/6, a função z aumenta à taxa e^{-1} por unidade de comprimento nessa direção.

Resposta

\nabla z(x,y)=\big(-e^{-y^{2}}\sin x,\;-2y\,e^{-y^{2}}\cos x\big)
\nabla z(\pi,1)=\big(0,\;2e^{-1}\big)
D_{\vec{u}} z(\pi,1)=e^{-1}

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