Seja f uma função diferenciável a duas variáveis tal que f_{1}(-1,2)=2 e f_{2}(-1,2)=-3. Encontre a derivada direcional D_{u} f(-1,2) se \vec{u}=\frac{\sqrt{2}}{2} i-\frac{\sqrt{2}}{2} j
Passo 1
O enunciado pede encontrar a derivada direcional D_{u}f(-1,2) dado que f é diferenciável em duas variáveis e que:
f_{1}(-1,2)=2 (a derivada parcial de f em relação a x no ponto (-1,2));
f_{2}(-1,2)=-3 (a derivada parcial de f em relação a y no ponto (-1,2));
o vetor de direção é \vec{u}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\mathbf{i}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\mathbf{j}.
O que se pede: calcular D_{u}f(-1,2).
Passo 2
Definição e fórmula que vou usar (explicando por que vale isso).
A derivada direcional de f no ponto (a,b) na direção de um vetor unitário u é, por definição de limite,
e o produto interno (dot product) entre dois vetores (p,q) e (r,s) é
(p,q)\cdot(r,s)=pr+qs.
Explicação curta: a diferenciabilidade garante que a melhor aproximação linear de f perto do ponto é dada pelo produto escalar do gradiente com o deslocamento; ao deslocar-se na direção u esse deslocamento se reduz a h u e o quociente leva ao produto escalar \nabla f\cdot u.
Passo 3
Calcular o gradiente no ponto usando os dados dados:
Interpretação: o valor positivo indica que, ao mover-se a partir de (-1,2) na direção de \vec{u}, a função f aumenta com taxa \dfrac{5\sqrt{2}}{2} por unidade de deslocamento nessa direção.