Seja f uma função diferenciável a duas variáveis tal que f_{1}(-1,2)=2 e f_{2}(-1,2)=-3. Encontre a derivada direcional D_{u} f(-1,2) se \vec{u}=\frac{\sqrt{2}}{2} i-\frac{\sqrt{2}}{2} j

Passo 1

O enunciado pede encontrar a derivada direcional D_{u}f(-1,2) dado que f é diferenciável em duas variáveis e que:
  • f_{1}(-1,2)=2 (a derivada parcial de f em relação a x no ponto (-1,2));
  • f_{2}(-1,2)=-3 (a derivada parcial de f em relação a y no ponto (-1,2));
  • o vetor de direção é \vec{u}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\mathbf{i}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\mathbf{j}.
O que se pede: calcular D_{u}f(-1,2).

Passo 2

Definição e fórmula que vou usar (explicando por que vale isso).
  • A derivada direcional de f no ponto (a,b) na direção de um vetor unitário u é, por definição de limite,
D_{u}f(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f\big((a,b)+h u\big)-f(a,b)}{h}.
  • Se f é diferenciável em (a,b), existe o gradiente \nabla f(a,b) e vale a fórmula mais prática:
D_{u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot u.
Aqui \nabla f(a,b) é o vetor das derivadas parciais em (a,b):
\displaystyle \nabla f(a,b)=\big(f_{1}(a,b),\,f_{2}(a,b)\big),
e o produto interno (dot product) entre dois vetores (p,q) e (r,s) é
(p,q)\cdot(r,s)=pr+qs.
Explicação curta: a diferenciabilidade garante que a melhor aproximação linear de f perto do ponto é dada pelo produto escalar do gradiente com o deslocamento; ao deslocar-se na direção u esse deslocamento se reduz a h u e o quociente leva ao produto escalar \nabla f\cdot u.

Passo 3

Calcular o gradiente no ponto usando os dados dados:
\displaystyle \nabla f(-1,2)=\big(f_{1}(-1,2),\,f_{2}(-1,2)\big)=(2,\,-3).
Aqui cada componente significa:
  • a primeira componente 2 é a taxa de variação de f quando x varia mantendo y fixo;
  • a segunda componente -3 é a taxa de variação de f quando y varia mantendo x fixo.

Passo 4

Verificar se \vec{u} é unitário (porque a fórmula \nabla f\cdot u exige u unitário). Calcular a norma:
\|\vec{u}\|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
Portanto \vec{u} já é unitário e posso aplicar diretamente D_{u}f(-1,2)=\nabla f(-1,2)\cdot \vec{u}.
Observação breve: se o vetor não fosse unitário, primeiro seria necessário normalizá-lo por \hat v=\dfrac{v}{\|v\|} e usar \nabla f\cdot\hat v.

Passo 5

Calcular o produto escalar explicitamente:
\begin{aligned} D_{u}f(-1,2) &=\nabla f(-1,2)\cdot \vec{u} \\\ &=(2,\,-3)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\\ &=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+(-3)\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\\ &=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \\\ &=\frac{2\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}
Interpretação: o valor positivo indica que, ao mover-se a partir de (-1,2) na direção de \vec{u}, a função f aumenta com taxa \dfrac{5\sqrt{2}}{2} por unidade de deslocamento nessa direção.

Resposta

\dfrac{5\sqrt{2}}{2}

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