Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente nabla z de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto nabla z\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) (c) e a Derivada direcional D_{u} z em ( x_{0}, y_{0}, z_{0} ) na direção do vetor unitário \vec{u}
f(x, y, z)=e^{-y} \sin (x)+\frac{1}{3} e^{-3 y} \sin (3 x)+z^{2},\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{3}, 0,1\right), \vec{u}=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) i+\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) j+ \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) k.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o campo escalar dado:
  • (a) o gradiente \nabla z da função;
  • (b) o valor do gradiente no ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=\left(\dfrac{\pi}{3},0,1\right);
  • (c) a derivada direcional D_{\vec{u}} z em \left(\dfrac{\pi}{3},0,1\right) na direção do vetor unitário
\vec{u}=\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\,\mathbf{i}+\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\,\mathbf{j}+\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\,\mathbf{k}.
As informações que temos do enunciado (já extraídas):
f(x,y,z)=e^{-y}\sin(x)+\tfrac{1}{3}e^{-3y}\sin(3x)+z^{2}, \qquad \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=\left(\tfrac{\pi}{3},0,1\right),
\vec{u}=\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)\,\mathbf{i}+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\,\mathbf{j}+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\,\mathbf{k}.
Nota: o enunciado diz que \vec{u} é unitário; mais adiante vou verificar isso e, se necessário, normalizar. Não começo a resolver ainda aqui — só organizei o que o problema pede e os dados que vamos usar.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calcular:
  • Para um campo escalar f(x,y,z), o gradiente \nabla f (aqui \nabla z no enunciado) é o vetor formado pelas derivadas parciais em cada coordenada:
\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\,\dfrac{\partial f}{\partial y},\,\dfrac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Cada derivada parcial significa: derivar a função em relação a uma variável segurando as outras constantes.
  • A derivada direcional de f na direção de um vetor unitário \vec{u} no ponto (x_0,y_0,z_0) é o produto escalar do gradiente naquele ponto com \vec{u}:
D_{\vec{u}} f(x_0,y_0,z_0)=\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot \vec{u}.
Vou aplicar essas definições passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y,z).
Começo relembrando a função:
f(x,y,z)=e^{-y}\sin(x)+\tfrac{1}{3}e^{-3y}\sin(3x)+z^{2}.
Derivada parcial em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{-y}\sin x\big)=e^{-y}\cos x, porque e^{-y} é constante em relação a x e \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(\tfrac{1}{3}e^{-3y}\sin(3x)\big)=\tfrac{1}{3}e^{-3y}\cdot 3\cos(3x)=e^{-3y}\cos(3x), usando a regra da cadeia \dfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(z^{2})=0 (pois z é tratado como constante ao derivar em x).
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{-y}\cos x+e^{-3y}\cos(3x).

Passo 4

Derivada parcial em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(e^{-y}\sin x\big)=(-e^{-y})\sin x=-e^{-y}\sin x, porque \dfrac{d}{dy}e^{-y}=-e^{-y} e \sin x é constante.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(\tfrac{1}{3}e^{-3y}\sin(3x)\big)=\tfrac{1}{3}\cdot(-3)e^{-3y}\sin(3x)=-e^{-3y}\sin(3x).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(z^{2})=0.
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-e^{-y}\sin x - e^{-3y}\sin(3x).

Passo 5

Derivada parcial em relação a z:
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2z.
  • Os termos que envolvem apenas x,y têm derivada zero em relação a z.
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial z}=2z.

Passo 6

Agora escrevo o gradiente completo juntando as três componentes:
\nabla f(x,y,z)=\left(e^{-y}\cos x+e^{-3y}\cos(3x),\; -e^{-y}\sin x - e^{-3y}\sin(3x),\; 2z\right).
Isto responde a parte (a) do problema — é o vetor de derivadas parciais.

Passo 7

Avaliar o gradiente no ponto \left(\dfrac{\pi}{3},0,1\right) (parte (b)).
Primeiro calculemos os valores trigonométricos e exponenciais necessários:
  • e^{-y} com y_{0}=0 e^{0}=1.
  • e^{-3y} com y_{0}=0 e^{0}=1.
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}.
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • \cos\!\big(3\cdot \tfrac{\pi}{3}\big)=\cos(\pi)=-1.
  • \sin\!\big(3\cdot \tfrac{\pi}{3}\big)=\sin(\pi)=0.
  • 2z com z_{0}=1 2.
Agora substituindo na expressão do gradiente:
  • Componente x:
e^{-y_{0}}\cos x_{0}+e^{-3y_{0}}\cos(3x_{0})=1\cdot\tfrac{1}{2}+1\cdot(-1)=\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}.
  • Componente y:
- e^{-y_{0}}\sin x_{0} - e^{-3y_{0}}\sin(3x_{0}) = -1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1\cdot 0 = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Componente z:
2z_{0}=2\cdot 1=2.
Portanto
\nabla f\!\left(\tfrac{\pi}{3},0,1\right)=\left(-\tfrac{1}{2},\; -\tfrac{\sqrt{3}}{2},\; 2\right).

Passo 8

Verificação do vetor \vec{u} (e cálculo da derivada direcional).
Primeiro expresso os componentes de \vec{u} explicitamente:
\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2},\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.
Logo
\vec{u}=\left(-\tfrac{1}{2},\;\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;\tfrac{1}{2}\right).
Verifico o comprimento para confirmar que é unitário:
\|\vec{u}\|^{2}=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} =\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{4}+\tfrac{1}{4}=1,
portanto \|\vec{u}\|=1, como o enunciado afirmou.
A derivada direcional é o produto escalar:
D_{\vec{u}} f\!\left(\tfrac{\pi}{3},0,1\right)=\nabla f\!\left(\tfrac{\pi}{3},0,1\right)\cdot \vec{u}.
Faço o produto escalar componente a componente:
\big(-\tfrac{1}{2}\big)\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big) \;+\;\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\cdot\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) \;+\;2\cdot\big(\tfrac{1}{2}\big).
Calcule cada termo:
  • Primeiro termo: \big(-\tfrac{1}{2}\big)\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{4}.
  • Segundo termo: -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{\sqrt{6}}{4}.
  • Terceiro termo: 2\cdot \tfrac{1}{2}=1.
Somando:
D_{\vec{u}} f\!\left(\tfrac{\pi}{3},0,1\right)=\tfrac{1}{4}-\tfrac{\sqrt{6}}{4}+1 = \tfrac{5}{4}-\tfrac{\sqrt{6}}{4} = \dfrac{5-\sqrt{6}}{4}.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(e^{-y}\cos x+e^{-3y}\cos(3x),\; -e^{-y}\sin x - e^{-3y}\sin(3x),\; 2z\right)
\nabla f\!\left(\tfrac{\pi}{3},0,1\right)=\left(-\tfrac{1}{2},\; -\tfrac{\sqrt{3}}{2},\; 2\right)
D_{\vec{u}} f\!\left(\tfrac{\pi}{3},0,1\right)=\dfrac{5-\sqrt{6}}{4}

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