Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente
de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto
(c) e a Derivada direcional
em (
) na direção do vetor unitário
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o campo escalar dado:
- (a) o gradiente
da função; - (b) o valor do gradiente no ponto
; - (c) a derivada direcional
em na direção do vetor unitário
As informações que temos do enunciado (já extraídas):
Nota: o enunciado diz que
é unitário; mais adiante vou verificar isso e, se necessário, normalizar. Não começo a resolver ainda aqui — só organizei o que o problema pede e os dados que vamos usar.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calcular:
- Para um campo escalar
, o gradiente (aqui no enunciado) é o vetor formado pelas derivadas parciais em cada coordenada:
- Cada derivada parcial significa: derivar a função em relação a uma variável segurando as outras constantes.
- A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário no ponto é o produto escalar do gradiente naquele ponto com :
Vou aplicar essas definições passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Começo relembrando a função:
Começo relembrando a função:
Derivada parcial em relação a
:
-
, porque é constante em relação a e . -
, usando a regra da cadeia . -
(pois é tratado como constante ao derivar em ).
Portanto
Passo 4
Derivada parcial em relação a
:
-
, porque e é constante. -
. -
.
Portanto
Passo 5
Derivada parcial em relação a
:
-
. - Os termos que envolvem apenas
têm derivada zero em relação a .
Portanto
Passo 6
Agora escrevo o gradiente completo juntando as três componentes:
Isto responde a parte (a) do problema — é o vetor de derivadas parciais.
Passo 7
Avaliar o gradiente no ponto
(parte (b)).
Primeiro calculemos os valores trigonométricos e exponenciais necessários:
Primeiro calculemos os valores trigonométricos e exponenciais necessários:
-
com dá . -
com dá . -
. -
. -
. -
. -
com dá .
Agora substituindo na expressão do gradiente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto
Passo 8
Verificação do vetor
(e cálculo da derivada direcional).
Primeiro expresso os componentes de explicitamente:
Primeiro expresso os componentes de
Logo
Verifico o comprimento para confirmar que é unitário:
portanto
, como o enunciado afirmou.
A derivada direcional é o produto escalar:
Faço o produto escalar componente a componente:
Calcule cada termo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Somando: