Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
a) R(t) = t * i + t^2 * j
b) R(t) = 2 sen(4t) i + 2 cos(4t) j
c) R(t) = (cos(t) + t sen(t)) i + (sen(t) - t cos(t)) j, t ≥ 0
d) R(t) = (t^3 - 3t) i + 3t^2 j

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos uma partícula movendo-se ao longo de uma curva descrita pela equação vetorial . Precisamos encontrar os vetores velocidade , aceleração e os componentes escalares da aceleração tangencial e normal . Para resolver isso, vamos usar derivadas de vetores e conceitos de movimento curvilíneo.

Passo 2

Encontrar o Vetor Posição :
Para a parte a), temos:
Isso descreve a posição da partícula em função do tempo .

Passo 3

Calcular o Vetor Velocidade :
O vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo.

Passo 4

Calcular o Vetor Aceleração :
O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo.
Isso mostra que a aceleração é constante na direção .

Passo 5

Calcular os Escalares e :
  1. Módulo da Velocidade :
  1. Aceleração Tangencial :
    É a derivada do módulo da velocidade em relação ao tempo.
  1. Aceleração Normal :
    Usa a relação entre a aceleração total e a aceleração tangencial.

Resposta

Os vetores são:
E os escalares são:

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