Ache um vetor \vec{x} tal que \left\{\begin{array}{c}\vec{x} \cdot(2 \vec{i}+3 \vec{j})=6 \\\ \vec{x} \wedge(2 \vec{i}+3 \vec{j})=2 \vec{k}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{x}\in\mathbb{R}^3 tal que o produto escalar com 2\vec{i}+3\vec{j} valha 6 e o produto vetorial dê 2\vec{k}. O conteúdo envolvido é a definição de produto escalar e produto vetorial em coordenadas. Para resolver, vamos escrever \vec{x}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}
e usar as fórmulas
\vec{x}\cdot\vec{u}=a\,u_x + b\,u_y + c\,u_z, \qquad \vec{x}\times\vec{u}=(b\,u_z - c\,u_y)\,\vec{i} + (c\,u_x - a\,u_z)\,\vec{j} + (a\,u_y - b\,u_x)\,\vec{k}.

Passo 2

Aplicando o produto escalar com \vec{u}=2\vec{i}+3\vec{j} temos
\vec{x}\cdot(2\vec{i}+3\vec{j}) =2a+3b+0\cdot c =6
Logo
2a+3b=6.

Passo 3

Agora o produto vetorial:
\vec{x}\times(2\vec{i}+3\vec{j}) =(a,b,c)\times(2,3,0) =(-3c)\,\vec{i}+(2c)\,\vec{j}+(3a-2b)\,\vec{k}.
Igualando a 2\vec{k} obtemos
-3c=0,\quad 2c=0,\quad 3a-2b=2,
ou seja
c=0, \qquad 3a-2b=2.

Passo 4

Resolvendo o sistema em a,b\): \[\begin{cases} 2a+3b=6,\\\\ 3a-2b=2, \end{cases}
podemos, por exemplo, isolar a\] na primeira: \[a=\frac{6-3b}{2}\] e substituir na segunda: \[3\cdot\frac{6-3b}{2}-2b=2 \;\Longrightarrow\; \frac{18-9b}{2}-2b=2 \;\Longrightarrow\; 18-9b-4b=4 \;\Longrightarrow\; 13b=14 \;\Longrightarrow\; b=\frac{14}{13}.\] Então \[a=\frac{6-3\cdot\frac{14}{13}}{2} =\frac{\frac{78-42}{13}}{2} =\frac{36}{13}\cdot\frac12 =\frac{18}{13}.\] E já tínhamos \(c=0.

Resposta

\boxed{\vec{x}=\frac{18}{13}\,\vec{i}+\frac{14}{13}\,\vec{j}}.

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