Em cada um dos itens a seguir, determine as equações cartesianas e equações paramétricas para retas no plano satisfazendo as condições dadas.
que passa pelo ponto (1,-3) e é paralela à reta y=-2 x+3.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por (1,-3) e é paralela à reta dada por
y = -2x + 3.
O conteúdo que vamos usar é que retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular m, e que a forma ponto-inclinação de uma reta com coeficiente angular m passando por (x_0,y_0) é
y - y_0 = m\,(x - x_0).
Também vamos lembrar que uma forma paramétrica de reta no plano é
(x,y) = (x_0,y_0) + t\,(v_x,v_y),
onde (v_x,v_y) é um vetor diretor.

Passo 2

Para a reta dada \displaystyle y = -2x + 3, o coeficiente angular é
m = -2.
Como nossa reta deve ser paralela, ela terá o mesmo m = -2.

Passo 3

Usamos a forma ponto-inclinação com (x_0,y_0)=(1,-3) e m=-2:
y - (-3) = -2\,(x - 1),
isto é,
y + 3 = -2x + 2.
Rearranjando em forma padrão, por exemplo Ax + By + C = 0, obtemos
2x + y + 1 = 0.
Em forma explícita, fica
y = -2x - 1.

Passo 4

Um vetor diretor da reta pode ser escolhido como (1,m) = (1,-2). A forma paramétrica usando parâmetro t é
\begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = -3 - 2t. \end{cases}

Resposta

Equação cartesiana (forma padrão):
2x + y + 1 = 0.
Equação cartesiana (forma explícita):
y = -2x - 1.
Equações paramétricas:
\begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = -3 - 2t. \end{cases}

Exercícios relacionados