Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por um arco da curva do seno em torno do eixo x. (Sugestão: use a identidade sen^2 x=12(1-cos 2 x).)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pela curva y=sin x, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=pi. O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos e vamos precisar da identidade trigonométrica sin^2x=tfrac12(1-cos2x).

Passo 2

Pelo método dos discos, cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y=sin x, então o volume é dado por:
V=piintegral0^pi(sin x)^2,dx

Passo 3

Usando a identidade sin^2x=tfrac12(1-cos2x), substituímos na integral:
V=piintegral0^pi12(1-cos2x),dx =pi2l[integral0^pi1,dx-integral0^picos2x,dxr]

Passo 4

Agora calculamos as integrais:
integral0^pi1,dx=pi, integral0^picos2x,dx=sin2x2|0^pi=0

Passo 5

Logo:
V=pi2(pi-0)=pi^22

Resposta

V=tfracpi^22

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