Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados: y=x^3, y=8, x=0; em torno do eixo dos y y.

Passo 1

O problema pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y=x^3, y=8 e x=0 em torno do eixo y. O conteúdo é cálculo de volume de revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois estamos girando em torno do eixo vertical e a região é melhor descrita por x.

Passo 2

Em cascas cilíndricas, cada elemento de volume tem raio r=x, altura dada pela diferença entre o valor superior de y e o inferior, ou seja, h=8 - x^3, e espessura dx. Precisamos descobrir os limites de x: como y=8 e y=x^3 se encontram quando x^3=8, temos x=2. Assim, integraremos de x=0 até x=2.

Passo 3

O volume é dado por
V = 2pi integral0^2 l(raior)cdotl(a

Passo 4

Agora vamos calcular a integral. Primeiro expandimos:
2pi integral0^2 (8x - x^4),dx = 2pi l[4x^2 - x^55r]0^2

Passo 5

Avaliaremos em x=2:
$$4\cdot2^{2} - \frac{2^{5}}{5} = 4\cdot4 - \frac{32}{5} = 16 - \frac{32}{5} = \frac{80 - 32}{5} = \frac{48}{5}.
$$

Passo 6

Multiplicando por 2pi, obtemos V = 2pi cdot 485 = 96pi5

Resposta

96pi5

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