Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
; em torno do eixo dos
.
Passo 1
O problema pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por
,
e
em torno do eixo
. O conteúdo é cálculo de volume de revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois estamos girando em torno do eixo vertical e a região é melhor descrita por
.
Passo 2
Em cascas cilíndricas, cada elemento de volume tem raio
, altura dada pela diferença entre o valor superior de
e o inferior, ou seja,
, e espessura
. Precisamos descobrir os limites de
: como
e
se encontram quando
, temos
. Assim, integraremos de
até
.
Passo 3
O volume é dado por
Passo 4
Agora vamos calcular a integral. Primeiro expandimos:
Passo 5
Avaliaremos em
:
$$4\cdot2^{2} - \frac{2^{5}}{5} = 4\cdot4 - \frac{32}{5} = 16 - \frac{32}{5} = \frac{80 - 32}{5} = \frac{48}{5}.
$$
Passo 6
Multiplicando por
, obtemos