Calcule a área dos seguintes subconjuntos de : mathR^2

Passo 1

Nesse exercício a gente quer calcular a área do conjunto definido por três desigualdades em R^2: y <= x^2, y <= x e y >= tfrac12x^2. O conteúdo é integração de função com limites variáveis, então precisamos achar onde as curvas se intersectam para definir os limites de integração.

Passo 2

Para encontrar o intervalo de integração em x, igualamos as curvas: de y=x^2 e y=x vem
x^2=ximplies x=0,1
e de y=tfrac12x^2 e y=x vem
tfrac12x^2=ximplies x=0,2.
Logo, a região existe para x em [0,2].

Passo 3

Precisamos identificar qual é o teto da região em cada parte: para 0<= x<=1 vale x^2<= x, então o teto é y=x^2; para 1<= x<=2 vale x<= x^2, então o teto é y=x. Em todo o intervalo, o piso é y=tfrac12x^2.

Passo 4

A área é dada pela integral da diferença entre teto e piso em cada parte, ou seja:
A=integral0^1l(x^2-tfrac12x^2r),dx+integral1^2l(x-tfrac12x^2r),dx

Passo 5

Calculo a primeira integral:
integral0^1l(x^2-tfrac12x^2r),dx=integral0^1tfrac12x^2,dx=tfrac12cdotx^33|0^1=16

Passo 6

Calculo a segunda integral:
integral1^2l(x-tfrac12x^2r),dx=l(x^22-x^36r)|1^2=32-76=13

Passo 7

Somando os dois resultados temos A=16+13=12.

Resposta

tfrac12

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