Calcule a área limitada pelas curvas: y=12-2 x^2, y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=12-2x^2 e y=x^2. O conteúdo aqui é integração para calcular área entre duas funções, e vamos precisar encontrar onde elas se interceptam e depois integrar a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Primeiro, determinamos os pontos de interseção resolvendo 12-2x^2 = x^2. Isso dá
12 = 3x^2 implies x^2 = 4 implies x = pm 2

Passo 3

Agora sabemos que a região está compreendida entre x=-2 e x=2. Para cada x nesse intervalo, a curva superior é y=12-2x^2 e a inferior é y=x^2. Montamos o integral da diferença entre as funções de -2 a 2:
Área = integral-2^2 l[(12 - 2x^2) - x^2r] ,dx = integral-2^2 (12 - 3x^2) ,dxÁ

Passo 4

Calculamos o integral:
integral (12 - 3x^2) ,dx = 12x - x^3 + C

Passo 5

Avaliando de -2 a 2:
l[12x - x^3r]-2^2 = l(24 - 8r) - l(-24 + 8r) = 16 - (-16) = 32

Resposta

32

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