Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela curva y(x^3+8)=4, pelo eixo x , pelo eixo y e pela reta x=1.

Passo 1

O enunciado diz: “Ache o volume do sólido obtido girando em torno do eixo x a região limitada pela curva
yl(x^3+8r)=4,
pelo eixo x ( y=0), pelo eixo y ( x=0) e pela reta x=1.”
Conteúdo: volume de revolução (método dos discos).
O que a gente vai precisar:
  1. Isolar y em função de x.
  2. Saber que, girando em torno de x, o volume é
V = pi integrala^b l[y(x)r]^2,dx

Passo 2

Primeiro, isolamos y.
y,(x^3+8)=4 Longrightarrow y=4x^3+8
O intervalo em x vai de x=0 (eixo y) até x=1 (reta dada).

Passo 3

Usando o método dos discos: cada “fatinha” de espessura dx gira e gera um disco de raio y(x).
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dV = pil[y(x)r]^2,dx = pi!l(4x^3+8r)^2 dx = pi,16(x^3+8)^2,dx
Para o volume total:
V = integral0^1 dV = pi integral0^1 16(x^3+8)^2,dx = 16pi integral0^1 dx(x^3+8)^2

Passo 4

A integral
integral0^1 dx(x^3+8)^2
pode ser resolvida por frações parciais (é um pouco extensa), mas o nosso principal foi montar certinho o integral.

Resposta

boxedV ;=;16,pi integral0^1dxl(x^3+8r)^2

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