E aí! Vamos resolver essa integral que envolve uma fração bem complicada. O assunto aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Vamos precisar dela para dividir a fração em partes mais simples e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações mais simples. A gente assume que:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos encontrar os valores de , e escolhendo valores estratégicos para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, para encontrar , podemos expandir a equação geral usando os valores de e :
Expandindo e simplificando:
Igualando os coeficientes:
Passo 6
Com os valores A = 1, B = -1 e C = -1, nossa fração fica:
1(t+2)^2(t+1) = 1t+1 - 1t+2 - 1(t+2)^2
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1t+1 , dt - integral 1t+2 , dt - integral 1(t+2)^2 , dt