Calcule a integral
integral d t(t+2)^2(t+1)

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa integral que envolve uma fração bem complicada. O assunto aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Vamos precisar dela para dividir a fração em partes mais simples e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 1(t+2)^2(t+1) como uma soma de frações mais simples. A gente assume que:
1(t+2)^2(t+1) = At+1 + Bt+2 + C(t+2)^2

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (t+2)^2(t+1) para eliminar os denominadores:
1 = A(t+2)^2 + B(t+1)(t+2) + C(t+1)

Passo 4

Vamos encontrar os valores de A, B e C escolhendo valores estratégicos para t:
  • Para t = -1:
1 = A(1)^2 + B(0) + C(0) Rightarrow A = 1
  • Para t = -2:
1 = A(0) + B(-1)(0) + C(-1) Rightarrow C = -1

Passo 5

Agora, para encontrar B, podemos expandir a equação geral usando os valores de A e C:
1 = (t+2)^2 + B(t+1)(t+2) - (t+1)
Expandindo e simplificando:
1 = t^2 + 4t + 4 + B(t^2 + 3t + 2) - t - 1
1 = (1 + B)t^2 + (4 + 3B - 1)t + (4 + 2B - 1)
Igualando os coeficientes:
1 + B = 0 Rightarrow B = -1 4 + 3B - 1 = 0 Rightarrow 3B + 3 = 0 Rightarrow B = -1 4 + 2B - 1 = 1 Rightarrow 2B + 3 = 1 Rightarrow B = -1

Passo 6

Com os valores A = 1, B = -1 e C = -1, nossa fração fica:
1(t+2)^2(t+1) = 1t+1 - 1t+2 - 1(t+2)^2
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1t+1 , dt - integral 1t+2 , dt - integral 1(t+2)^2 , dt
A integração resulta em:
ln|t+1| - ln|t+2| + 1t+2 + C

Resposta

A integral vale ln|t+1t+2| + 1t+2 + C.

Exercícios relacionados