Resolva o problema de valores iniciais:
Passo 1
Temos a equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
. Isso cai na matéria de equações diferenciais ordinárias lineares e vamos precisar usar o fator integrante para resolver.
Passo 2
Calcular o fator integrante: ele é dado por
. Esse fator nos ajuda a transformar o lado esquerdo da equação em derivada de um produto.
Passo 3
Multiplicar a equação original por
. Ficamos com
$$e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = 32e^{2x}.
$$
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
. Fazendo a integral, obtemos
onde
Passo 5
Isolar
. Dividindo por
, temos
$$y(x) = 16 + Ce^{-2x}.
$$
Passo 6
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
, obtemos
, logo
. Portanto a solução que satisfaz a condição é
$$y(x) = 16 - 16e^{-2x} = 16\bigl(1 - e^{-2x}\bigr).
$$