Resolva o problema de valores iniciais:
d yd x+2 y=32 ; y(0)=0

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de primeira ordem dydx+2y=32 com condição inicial y(0)=0. Isso cai na matéria de equações diferenciais ordinárias lineares e vamos precisar usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Calcular o fator integrante: ele é dado por mu(x)=e^integral 2 ,dx = e^2x. Esse fator nos ajuda a transformar o lado esquerdo da equação em derivada de um produto.

Passo 3

Multiplicar a equação original por mu(x). Ficamos com
$$e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = 32e^{2x}.
e^2xdydx + 2e^2xy = 32e^2x é\frac{d}{dx}\bigl(y e^{2x}\bigr) = 32e^{2x}.
$$

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x. Fazendo a integral, obtemos
y e^2x = integral 32e^2x,dx = 16e^2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolar y. Dividindo por e^2x, temos
$$y(x) = 16 + Ce^{-2x}.
$$

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0, obtemos 0 = 16 + C, logo C = -16. Portanto a solução que satisfaz a condição é
$$y(x) = 16 - 16e^{-2x} = 16\bigl(1 - e^{-2x}\bigr).
$$

Resposta

y(x)=16l(1-e^-2xr)

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