Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x , da região limitada pela curva
e pela reta
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
e
. O conteúdo é cálculo de integrais aplicando o método dos anéis (ou discos com orifício). Vamos achar os pontos de interseção, determinar qual curva fica por cima, escrever a integral de volume e calculá-la.
Passo 2
Para achar as abscissas de interseção resolvemos
que leva a
Logo, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Em qualquer
entre
e
temos
pois, por exemplo, em
a reta vale
e a parábola vale
. Portanto a reta
é a borda externa (raio maior) e a parábola
é a borda interna (raio menor).
Passo 4
Pelo método dos anéis, o volume é
Chamando
o integrando fica
Passo 5
Montamos a integral
e achamos a primitiva
Passo 6
Avaliando de
a
:
em
em
em
Logo a diferença é
e multiplicando por
obtém-se o volume.