Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x , da região limitada pela curva y=x^2+1 e pela reta y=x+3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas ,y=x^2+1 e ,y=x+3. O conteúdo é cálculo de integrais aplicando o método dos anéis (ou discos com orifício). Vamos achar os pontos de interseção, determinar qual curva fica por cima, escrever a integral de volume e calculá-la.

Passo 2

Para achar as abscissas de interseção resolvemos
x^2 + 1 = x + 3
que leva a
x^2 - x - 2 = 0 Longrightarrow (x-2)(x+1)=0
Logo, os pontos de interseção são x=-1 e x=2.

Passo 3

Em qualquer x entre -1 e 2 temos
x+3 >= x^2+1
pois, por exemplo, em x=0 a reta vale 3 e a parábola vale 1. Portanto a reta y=x+3 é a borda externa (raio maior) e a parábola y=x^2+1 é a borda interna (raio menor).

Passo 4

Pelo método dos anéis, o volume é
V = integralx=-1^2 pil[l(x+3r)^2 - l(x^2+1r)^2r],dx
Chamando
R(x)=x+3, r(x)=x^2+1,
o integrando fica
(x+3)^2 - (x^2+1)^2 = l(x^2+6x+9r) - l(x^4+2x^2+1r) = -,x^4 ;-;x^2 ;+;6x ;+;8

Passo 5

Montamos a integral
V = pi integral-1^2 l(-x^4 - x^2 + 6x + 8r),dx
e achamos a primitiva
integral l(-x^4 - x^2 + 6x + 8r),dx = -x^55 - x^33 + 3x^2 + 8x

Passo 6

Avaliando de -1 a 2:
em x=2
-2^55 - 2^33 + 3cdot2^2 + 8cdot2 = -325 - 83 + 12 + 16 = 28415,
em x=-1
-l(-15r) - l(-13r) + 3cdot1 -8 = 15 + 13 -5 = -6715
Logo a diferença é
28415 - l(-6715r) = 35115 = 1175,
e multiplicando por pi obtém-se o volume.

Resposta

V = 117pi5

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