O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo é séries alternadas e testes de convergência (critério de Leibniz e teste de comparação para convergência absoluta). Vamos primeiro verificar o comportamento do termo geral e depois aplicar esses testes.
Passo 2
Defina
Primeiro, note que
Portanto o termo geral vai a zero, condição necessária para qualquer convergência.
Passo 3
Para usar o critério de Leibniz precisamos também que seja (eventualmente) decrescente. Considere a função contínua
Seu derivada é
Como para , a partir de . Logo é decrescente para , e os poucos termos iniciais não afetam a convergência do todo.
Passo 4
Pelo critério de Leibniz (série alternada com , e eventualmente decrescente), concluímos que
é convergente.
Passo 5
Agora testamos a convergência absoluta estudando
Para n>=1 temos 3n^2+2014<=2017,n^2, então
n3n^2+2014>=n2017,n^2 =12017,n
Como sum 1/n diverge (série harmônica), pelo teste da comparação a série sum an também diverge. Assim não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente, mas não converge absolutamente.