Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty (-1)^n n3 n^2+2014

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n,n3n^2+2014
O conteúdo é séries alternadas e testes de convergência (critério de Leibniz e teste de comparação para convergência absoluta). Vamos primeiro verificar o comportamento do termo geral e depois aplicar esses testes.

Passo 2

Defina
an = n3n^2+2014
Primeiro, note que
limntoinftyan = limntoinftyn3n^2+2014 = limntoinfty13n + 2014n = 0
Portanto o termo geral vai a zero, condição necessária para qualquer convergência.

Passo 3

Para usar o critério de Leibniz precisamos também que (an) seja (eventualmente) decrescente. Considere a função contínua
f(x)=x3x^2+2014
Seu derivada é
f'(x) =(3x^2+2014)-xcdot6x(3x^2+2014)^2 =2014-3x^2(3x^2+2014)^2
Como 2014-3x^2<0 para x>raiztfrac20143approx25,9, f'(x)<0 a partir de x>=26. Logo (an) é decrescente para n>=26, e os poucos termos iniciais não afetam a convergência do todo.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz (série alternada com an>=0, anto0 e an eventualmente decrescente), concluímos que
sumn=1^infty(-1)^nan
é convergente.

Passo 5

Agora testamos a convergência absoluta estudando
sumn=1^inftyl|(-1)^nanr| =sumn=1^inftyan =sumn=1^inftyn3n^2+2014
Para n>=1 temos 3n^2+2014<=2017,n^2, então
n3n^2+2014>=n2017,n^2 =12017,n
Como sum 1/n diverge (série harmônica), pelo teste da comparação a série sum an também diverge. Assim não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente, mas não converge absolutamente.

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