Encontre a solução do problema de valor inicial utilizando série de potências
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando série de potências centrada em
. Como o coeficiente de
em
é
, temos ponto regular e podemos assumir uma solução da forma
Passo 2
Escrevemos as derivadas em série:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Expandindo cada termo e reindexando para potências
:
Somando os quatro termos e igualando o coeficiente de
a zero, para
, dá
Dividindo por
(válido para todo
) segue a relação de recorrência
Passo 4
As condições iniciais fornecem
Para
na recorrência:
Passo 5
Usando a fórmula
calculamos termos sucessivos:
e assim por diante.
Resposta
A solução em série de potências é
com
onde os coeficientes satisfazem