Encontre a solução do problema de valor inicial utilizando série de potências
(x-1) y^prime prime+x y^prime+y=0, y(0)=-2, y^prime(0)=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
(x-1),y'' + x,y' + y = 0, y(0)=-2,;y'(0)=6
usando série de potências centrada em x=0. Como o coeficiente de y'' em x=0 é -1neq0, temos ponto regular e podemos assumir uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n

Passo 2

Escrevemos as derivadas em série:
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2
Substituindo em (x-1)y''+x,y'+y=0 obtemos
x,y''-y''+x,y'+y=0

Passo 3

Expandindo cada termo e reindexando para potências x^m:
x,y''=summ=1^infty(m+1)m,am+1,x^m,
-y''=-summ=0^infty(m+2)(m+1),am+2,x^m,
x,y'=summ=1^inftym,am,x^m, y=summ=0^inftyam,x^m
Somando os quatro termos e igualando o coeficiente de x^m a zero, para m>=0, dá
(m+1)m,am+1-(m+2)(m+1)am+2+(m+1)am=0
Dividindo por m+1 (válido para todo m>=0) segue a relação de recorrência
am+2=m,am+1+amm+2, m>=0

Passo 4

As condições iniciais fornecem
y(0)=a0=-2, y'(0)=a1=6
Para m=0 na recorrência:
a2=0cdot a1+a02=-22=-1

Passo 5

Usando a fórmula
am+2=m,am+1+amm+2,
calculamos termos sucessivos:
a3=1cdot a2+a13=-1+63=53,
a4=2cdot a3+a24=2cdot53-14=712,
a5=3cdot a4+a35=3cdot712+535=4160,
e assim por diante.

Resposta

A solução em série de potências é
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n
com
a0=-2,;a1=6, ;a2=-1,;a3=tfrac53,;a4=tfrac712,;a5=tfrac4160,;dots
onde os coeficientes satisfazem
am+2=m,am+1+amm+2, m>=0

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