Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelo laço da curva cuja equação é
. e pela curva
é denotada por
; a região limitada pelas curvas
e
é denotada por
a região limitada pelo eixo
, pela reta
e pela curva
é denotada por
. Nos Exercícios de 13 a 20, ache o volume do sólido gerado pela rotação da região indicada em torno da reta dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos uma região específica ao redor do eixo
. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis para volumes de revolução. Vamos precisar entender as curvas que delimitam a região e como aplicar essas técnicas para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região
. Temos a curva definida por
e a parábola
. Nosso objetivo é encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração.
Passo 3
Vamos resolver a equação
junto com
. Substituindo
por
na primeira equação:
Passo 4
Vamos simplificar a equação resultante:
Então, temos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se intersectam. Isso pode ser complicado, mas percebemos que
são soluções:
Além disso,
também satisfazem a equação:
Mas como estamos trabalhando com
, vamos focar nos valores mais próximos de zero, já que
é positivo.
Passo 6
Após identificar os pontos de interseção, determinamos os limites de integração. Supondo que os pontos de interseção relevantes estejam entre
e
, vamos configurar a integral para calcular o volume usando o método dos discos.
Passo 7
O método dos discos consiste em integrar a área de um disco infinitamente fino gerado pela rotação. A fórmula geral é:
Onde
é a função externa e
é a função interna.
Passo 8
No nosso caso, a função externa é a curva mais afastada do eixo
. Observando
e a outra curva, identificamos qual está fora. Supondo que
seja a externa no intervalo escolhido, a integral fica:
Precisaríamos da expressão exata da outra função para continuar, mas vamos seguir com a ideia geral.
Passo 9
Calculando a integral, expandimos os termos:
Dependendo da complexidade da outra função, poderíamos precisar de métodos numéricos ou simplificações adicionais.
Passo 10
Depois de calcular a integral, chegamos ao valor final do volume. Sem os valores exatos, deixamos a resposta na forma da integral definida.
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
é dado por
Para um cálculo preciso, é necessário determinar a expressão exata da outra função que delimita a região
.