Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Passo 1
O enunciado pede que a gente pegue cada soma de integrais dupla, descreva a região de integração, troque a ordem de integração escrevendo tudo como uma única integral iterada e, por fim, calcule o valor numérico.
Passo 2
Para o item (a), a região em (x,y) é formada por: para 0≤x≤1, 0≤y≤x, e para 1≤x≤2, 0≤y≤2−x. Isso é exatamente o triângulo de vértices (0,0),(1,1),(2,0). Se fixamos y entre 0 e 1, x varia de y até 2−y. Logo a soma vira
Passo 3
Ainda no item (a), calculamos:
Depois integramos em y:
Passo 4
Para o item (b), a região é dada por 0≤y≤8 e 0≤x≤√(y/3), mais 8≤y≤12 e √(y-8)≤x≤√(y/3). Desenhando isso, obtém-se para cada x entre 0 e 2 o intervalo em y de 3x² até x²+8. Logo a integral unificada é
Passo 5
Ainda no item (b), fazemos primeiro a integral em y: