Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
& a) integral0^1 integral0^x sen x d y d x+integral1^2 integral0^2-x sen x d y d x & b) integral0^8 integral0^raizy / 3 y d x d y+integral8^12 integralraizy-8^raizy / 3 y d x d y

Passo 1

O enunciado pede que a gente pegue cada soma de integrais dupla, descreva a região de integração, troque a ordem de integração escrevendo tudo como uma única integral iterada e, por fim, calcule o valor numérico.

Passo 2

Para o item (a), a região em (x,y) é formada por: para 0≤x≤1, 0≤y≤x, e para 1≤x≤2, 0≤y≤2−x. Isso é exatamente o triângulo de vértices (0,0),(1,1),(2,0). Se fixamos y entre 0 e 1, x varia de y até 2−y. Logo a soma vira
integral0^1integraly^2-ysin x,dx,dy

Passo 3

Ainda no item (a), calculamos:
integraly^2-ysin x,dx=[-cos x]y^2-y=cos y-cos(2-y)
Depois integramos em y:
integral0^1(cos y-cos(2-y)),dy=l[sin yr]0^1-l[sin(2-y)r]0^1=sin1-(sin2-sin1)=2sin1-sin2

Passo 4

Para o item (b), a região é dada por 0≤y≤8 e 0≤x≤√(y/3), mais 8≤y≤12 e √(y-8)≤x≤√(y/3). Desenhando isso, obtém-se para cada x entre 0 e 2 o intervalo em y de 3x² até x²+8. Logo a integral unificada é
integral0^2integral3x^2^x^2+8y,dy,dx

Passo 5

Ainda no item (b), fazemos primeiro a integral em y:
integral3x^2^x^2+8y,dy=tfrac12l[(x^2+8)^2-(3x^2)^2r]=-4x^4+8x^2+32
Agora em x:
integral0^2(-4x^4+8x^2+32),dx=-4x^55+8x^33+32x|0^2=-1285+643+64=89615

Resposta

a) 2sin1-sin2
b) tfrac89615

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