Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y=1, da região limitada pela curva y=x^2+2 e a reta y=2. Faça um esboço da região e do sólido obtido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=1 a região limitada pelas duas curvas
y = x^2 + 2
e
y = 2
Para calcular volumes por rotação em torno de uma reta horizontal, normalmente usaríamos o método de discos (washers), em que a área transversal em cada x é
A(x)=pil[Rrm externo(x)r]^2-pil[Rrm interno(x)r]^2,
e então integraríamos essa área de x=a até x=b, onde a e b são as abscissas de interseção das curvas.

Passo 2

Vamos achar onde as duas curvas se encontram, resolvendo
x^2+2 = 2
implies x^2 = 0
implies x = 0
Isso mostra que as únicas soluções são (x,y)=(0,2). Portanto o conjunto
(x,y)mid x^2+2<= y<= 2
reduz-se ao ponto (0,2). Não há um intervalo de x em que exista área positiva entre as curvas; a região “limitada” é degenerada.

Passo 3

Como a região em questão é apenas um ponto, sua área é zero. Girando um ponto em torno de qualquer reta produz um conjunto de medida zero, logo o volume do sólido gerado também é zero.

Resposta

0

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