Teste a convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é séries de termos reais positivos e telescoping (soma telescópica). Vamos precisar
- verificar o domínio de definição dos termos,
- usar teste de comparação ou comparação assintótica para ver convergência,
- usar decomposição em frações parciais para, de fato, fechar em um valor.
Passo 2
Observe que, para
, o termo
não está definido. Logo, a série só faz sentido a partir de
, ou seja, consideramos
Antes de calcular o valor, vamos garantir que ela converge. Note que, para
grande,
e como a série
é convergente (
-série com
), pela comparação assintótica concluímos que nossa série também converge absolutamente.
Passo 3
Para encontrar o valor da soma, fazemos decomposição em frações parciais:
procuramos tais que
procuramos
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes de
e termos constantes dá
Logo
Passo 4
Definimos a soma parcial até
:
Essa soma telescopa: escrevendo alguns termos,
Quase tudo cancela, sobrando apenas
Passo 5
Agora basta tomar o limite quando
Ntoinfty . Como
tfrac1Nto0 e
tfrac1N+1to0 ,
Portanto a série converge e seu somatório é
tfrac34 .
Resposta
A série converge e