Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty 1n^2-1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty1n^2-1
O conteúdo principal aqui é séries de termos reais positivos e telescoping (soma telescópica). Vamos precisar
  1. verificar o domínio de definição dos termos,
  2. usar teste de comparação ou comparação assintótica para ver convergência,
  3. usar decomposição em frações parciais para, de fato, fechar em um valor.

Passo 2

Observe que, para n=1, o termo tfrac11^2-1=tfrac10 não está definido. Logo, a série só faz sentido a partir de n=2, ou seja, consideramos
sumn=2^infty1n^2-1
Antes de calcular o valor, vamos garantir que ela converge. Note que, para n grande,
1n^2-1sim1n^2,
e como a série sum 1/n^2 é convergente ( p-série com p=2>1), pela comparação assintótica concluímos que nossa série também converge absolutamente.

Passo 3

Para encontrar o valor da soma, fazemos decomposição em frações parciais:
procuramos A,B tais que
1n^2-1=1(n-1)(n+1)=An-1+Bn+1
Multiplicando por (n-1)(n+1) obtemos
1 = A(n+1) + B(n-1)
Comparando coeficientes de n e termos constantes dá
A+B=0, A - B = 1 Longrightarrow A=tfrac12,;B=-tfrac12
Logo
1n^2-1 =12l(1n-1-1n+1r)

Passo 4

Definimos a soma parcial até N:
SN=sumn=2^N1n^2-1 =12sumn=2^Nl(1n-1-1n+1r)
Essa soma telescopa: escrevendo alguns termos,
11-13 +12-14 +13-15 +cdots +1N-1-1N+1
Quase tudo cancela, sobrando apenas
SN =12l(underbrace11+12termos iniciais ;-;1N-1N+1r)

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando Ntoinfty. Como tfrac1Nto0 e tfrac1N+1to0,
limNtoinftySN =12l(1+tfrac12r) =12cdot32 =34
Portanto a série converge e seu somatório é tfrac34.

Resposta

A série converge e
sumn=2^infty1n^2-1=34

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