Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty (-1)^nraiz[3]2 n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^nraiz[3]2,n
O conteúdo usado será o critério de Leibniz para séries alternantes e, depois, o teste de convergência absoluta via séries p.

Passo 2

Defina
bn = 1raiz[3]2,n = (2n)^-tfrac13
Então a série é alternante de termos (-1)^nbn. Precisamos verificar para bn:
  1. bn>0 para todo n.
  2. bn+1<bn (monotonia decrescente).
  3. limntoinftybn=0.
Para 2.: como bn=(2n)^-1/3, a função contínua f(x)=(2x)^-1/3 tem derivada
f'(x) = -tfrac13,(2x)^-4/3cdot 2 < 0para x>0,
logo bn é decrescente. E claramente
limntoinftybn=limntoinfty(2n)^-tfrac13=0

Passo 3

Pelos itens acima, a série alternante satisfaz as hipóteses do critério de Leibniz, logo
sumn=1^infty(-1)^nbn
converge.

Passo 4

Para testar a convergência absoluta, considere
sumn=1^inftybn =sumn=1^infty(2n)^-tfrac13 =2^-tfrac13sumn=1^inftyn^-tfrac13
Como isto é uma série p com p=tfrac13<=1, ela diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^nraiz[3]2n converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente. Portanto, ela é condicionalmente convergente.

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