Calcule as integrais iteradas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral iterada
. Vamos usar conhecimentos de integrais duplas e propriedades das funções absolutas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A função valor absoluto
representa a distância entre
e
no eixo real. Dependendo dos valores de
e
, essa expressão pode ser simplificada.
Passo 3
Para facilitar, vamos dividir a região de integração em duas partes, dependendo de
e
:
- Quando
, então . - Quando
, então .
Isso nos ajuda a reescrever a integral sem a parte do valor absoluto.
Passo 4
Vamos reescrever a integral dupla dividindo-a nas duas regiões mencionadas:
Aqui, a primeira integral corresponde a
variando de 0 a
(onde
), e a segunda integral corresponde a
variando de
a 1 (onde
).
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral
vale
.