Calcule as integrais iteradas abaixo.
integral0^1 integral0^1|x-y| d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral iterada integral0^1 integral0^1 |x - y| , dy , dx. Vamos usar conhecimentos de integrais duplas e propriedades das funções absolutas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |x - y|. A função valor absoluto |x - y| representa a distância entre x e y no eixo real. Dependendo dos valores de x e y, essa expressão pode ser simplificada.

Passo 3

Para facilitar, vamos dividir a região de integração em duas partes, dependendo de x e y:
  1. Quando x >= y, então |x - y| = x - y.
  2. Quando x < y, então |x - y| = y - x.
Isso nos ajuda a reescrever a integral sem a parte do valor absoluto.

Passo 4

Vamos reescrever a integral dupla dividindo-a nas duas regiões mencionadas:
integral0^1 integral0^x (x - y) , dy , dx + integral0^1 integralx^1 (y - x) , dy , dx
Aqui, a primeira integral corresponde a y variando de 0 a x (onde x >= y), e a segunda integral corresponde a y variando de x a 1 (onde x < y).

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^1 integral0^x (x - y) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^x (x - y) , dy = [ xy - y^22 ]0^x = x cdot x - x^22 - (0 - 0) = x^2 - x^22 = x^22
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 x^22 , dx = 12 integral0^1 x^2 , dx = 12 [ x^33 ]0^1 = 12 ( 13 - 0 ) = 16

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^1 integralx^1 (y - x) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integralx^1 (y - x) , dy = [ y^22 - x y ]x^1 = ( 12 - x cdot 1 ) - ( x^22 - x cdot x ) = ( 12 - x ) - ( x^22 - x^2 )
= 12 - x - x^22 + x^2 = 12 - x + x^22
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 ( 12 - x + x^22 ) , dx = 12 integral0^1 , dx - integral0^1 x , dx + 12 integral0^1 x^2 , dx
= 12 [x]0^1 - [ x^22 ]0^1 + 12 [ x^33 ]0^1
= 12 (1 - 0) - 12 (1 - 0) + 12 cdot 13 (1 - 0)
= 12 - 12 + 16 = 16

Resposta

A integral integral0^1 integral0^1 |x - y| , dy , dx vale 13.

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