Ache o volume do sólido obtido rodando em torno do eixo y a área entre as curvas y^2=x-1 e y=x-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas: e . O objetivo é encontrar o volume do sólido formado ao girar a área limitada por essas curvas em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram para determinar os limites de integração. Igualando as duas equações:
y^2 = y + 1
Rearranjando os termos:
y^2 - y - 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para y = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52 :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos expressar x = y^2 + 1 em função de x = y + 1 para ambas as curvas:
Para :
Para :

Passo 4

Como vamos girar em torno do eixo V = pi integralymin^ymax ( [xdireita(y)]^2 - [xesquerda(y)]^2 ) dy , usamos o método dos discos. A fórmula para o volume é:

Passo 5

Identificamos qual função está à direita e qual está à esquerda no intervalo de integração. Observando e , vemos que está sempre à direita de para todos os valores de considerados.

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
V = pi integral1 - raiz52^1 + raiz52 ( (y^2 + 1)^2 - (y + 1)^2 ) dy

Passo 7

Vamos expandir os termos dentro da integral:
(y^2 + 1)^2 = y^4 + 2y^2 + 1
(y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1
Então:
(y^2 + 1)^2 - (y + 1)^2 = y^4 + y^2 - 2y

Passo 8

Agora, a integral fica:
V = pi integral1 - raiz52^1 + raiz52 ( y^4 + y^2 - 2y ) dy
Vamos integrar termo a termo:
integral y^4 dy = y^55
integral y^2 dy = y^33
integral -2y dy = -y^2

Passo 9

Substituindo os limites de integração:
V = pi [ y^55 + y^33 - y^2 ]1 - raiz52^1 + raiz52

Passo 10

Calculando a expressão para os limites superiores e inferiores:
V = pi [ ( (1 + raiz52)^55 + (1 + raiz52)^33 - (1 + raiz52)^2 ) - ( (1 - raiz52)^55 + (1 - raiz52)^33 - (1 - raiz52)^2 ) ]

Passo 11

Após simplificar os cálculos, obtemos o volume final:

Resposta

O volume do sólido é .

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