Ache o volume do sólido obtido rodando em torno do eixo a área entre as curvas e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas: e . O objetivo é encontrar o volume do sólido formado ao girar a área limitada por essas curvas em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram para determinar os limites de integração. Igualando as duas equações:
Rearranjando os termos:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora, vamos expressar em função de para ambas as curvas:
Para :
Para :
Passo 4
Como vamos girar em torno do eixo , usamos o método dos discos. A fórmula para o volume é:
Passo 5
Identificamos qual função está à direita e qual está à esquerda no intervalo de integração. Observando e , vemos que está sempre à direita de para todos os valores de considerados.
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Então:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Substituindo os limites de integração:
Passo 10
Calculando a expressão para os limites superiores e inferiores:
Passo 11
Após simplificar os cálculos, obtemos o volume final: