Calcule
b) integral1^2 x^2 ln x d x
c) integral0^pi / 2 raizcos theta sen theta d theta

Passo 1

A questão pede pra calcular duas integrais definidas: a) integral1^2 x^2ln x,dx que envolve integração por partes; b) integral0^pi/2 raizcostheta,sintheta,dtheta que é resolvida por substituição simples. A matéria principal aqui é técnica de integração (por partes e substituição).

Passo 2

Para integral1^2 x^2ln x,dx, a gente escolhe u=ln x e dv=x^2dx. Então
du=1xdx, v=x^33

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u,dv = uv - integral v,du,
integral x^2ln x,dx = x^33ln x - integral x^33cdot1x,dx = x^33ln x - 13integral x^2,dx

Passo 4

A integral de x^2 é x^3/3, logo
integral x^2ln x,dx = x^33ln x - 13cdot x^33 = x^33ln x - x^39 + C

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a 2:
l[tfracx^33ln x - tfracx^39r]1^2 = l(tfrac83ln2 - tfrac89r) - l(0 - tfrac19r) = 8ln23 - 79

Passo 6

Para integral0^pi/2 raizcostheta,sintheta,dtheta, fazemos a substituição u=costheta, daí
du=-sintheta,dtheta Longrightarrow sintheta,dtheta = -du

Passo 7

Quando theta=0, u=1; e quando theta=pi/2, u=0. A integral vira
integral0^pi/2 raizcostheta,sintheta,dtheta = integral1^0 u^1/2(-du) = integral0^1 u^1/2,du

Passo 8

Essa integral é
integral0^1 u^1/2,du = [u^3/23/2]0^1 = 23

Resposta

b) 8ln23 - 79
c) 23

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