Um fabricante pode produzir sapatos ao custo de R o par. Estima-se que, se cada par for vendido por o par Estima-se que, se cada par for vendido por reais, o fabricante venderá reais, o fabricante venderá pares de sapatos. Assim o lucro mensal do fabricante é uma função do preço de venda. Determine, em reais, o preço de venda, de modo que o lucro mensal seja máximo.

Passo 1

O fabricante tem custo de R$200 por par e vende cada par a um preço x, com demanda de 800−x pares, então o lucro mensal L(x) é receita menos custo.

Passo 2

A receita mensal é preço vezes quantidade: R(x)=x,(800-x). O custo mensal é custo unitário vezes quantidade: C(x)=200,(800-x). Assim o lucro é L(x)=R(x)-C(x).
Substituindo e simplificando temos
L(x)=x(800-x)-200(800-x)=800x-x^2-160000+200x=-x^2+1000x-160000

Passo 3

Como L(x) é uma parábola com coeficiente de x^2 negativo, o máximo ocorre no vértice. A abscissa do vértice é dada por
xv=-b2a=-10002cdot(-1)=500

Passo 4

Verificando que 500 está no domínio 0, concluímos que o preço que maximiza o lucro é R$500,00.

Resposta

R$ 500,00

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