Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y=1-3 / x, pelo eixo x e pela reta x=1 gira em torno do eixo x.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido de revolução obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pela curva y=1−3/x, pelo eixo x e pela reta x=1. O conteúdo principal aqui é cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método dos discos/aros, e vamos precisar identificar o intervalo de integração, o raio do disco e montar a integral.

Passo 2

Para achar até onde vai a região, determinamos onde a curva cruza o eixo x:
1-3x=0
Rightarrow x=3
Então a região está entre x=1 e x=3, com y variando entre 1−3/x (abaixo do eixo) e 0.

Passo 3

Como a região fica entre a curva e o eixo x, usamos o método dos discos (ou aros, se fosse o caso de um furo). Aqui o raio do disco vai ser a distância entre a curva e o eixo, isto é, |y|. Como para 1≤x≤3 temos y≤0, o raio é
R(x)=l|1-3xr|=3x-1
e não há furo interno (raio interno = 0). Logo a área da seção transversal é πR(x)^2.

Passo 4

Montamos a integral de volume:
V=pi integral1^3l(3x-1r)^2,dx

Passo 5

Para integrar, expandimos o quadrado:
l(3x-1r)^2=9x^2-6x+1

Passo 6

Agora achamos a primitiva:
integrall(9x^2-6x+1r)dx=-9x-6ln x + x + C

Passo 7

Avaliamo essa primitiva de 1 a 3:
F(x)=x-6ln x -9x,

Passo 8

V=pil[F(3)-F(1)r]=pil[(3-6ln3-3)-(1-6ln1-9)r]
;=pil(-6ln3+8r)=pil(8-6ln3r)

Resposta

V=π(8−6ln 3)

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