Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva
, pelo eixo
e pela reta
gira em torno do eixo
.
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido de revolução obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pela curva y=1−3/x, pelo eixo x e pela reta x=1. O conteúdo principal aqui é cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método dos discos/aros, e vamos precisar identificar o intervalo de integração, o raio do disco e montar a integral.
Passo 2
Para achar até onde vai a região, determinamos onde a curva cruza o eixo x:
Então a região está entre x=1 e x=3, com y variando entre 1−3/x (abaixo do eixo) e 0.
Passo 3
Como a região fica entre a curva e o eixo x, usamos o método dos discos (ou aros, se fosse o caso de um furo). Aqui o raio do disco vai ser a distância entre a curva e o eixo, isto é, |y|. Como para 1≤x≤3 temos y≤0, o raio é
e não há furo interno (raio interno = 0). Logo a área da seção transversal é πR(x)^2.
Passo 4
Montamos a integral de volume:
Passo 5
Para integrar, expandimos o quadrado:
Passo 6
Agora achamos a primitiva:
Passo 7
Avaliamo essa primitiva de 1 a 3:
Passo 8
Resposta
V=π(8−6ln 3)